Изоморфизм конечномерных векторных пространств

Азн. 9.1. V, U -линейные пространства над P. f : V→U - линейное отображение. Когда f - биекция, тогда f называется изоморфизмом.

Пример 9.2. 1) - тождественное отображение. Биективность очевидна. Раньше показано, что линейно. 2) . Биективность очевидна.

Св-во 9.3. Когда f :V→U - изоморфизм линейных просторов, тогда f ^-1 : V→U - также изоморфизм линейных просторов. Доказательство. Поскольку f - биекция,тогда f ^-1 - существует и является биекцией. Надо доказать, что f ^-1 - линейное отображение. U P существуют единственные V такие, что и . При этом заметим, что и . Тогда

. n

Опр. 9.4. Если существует изоморфизм линейного пространства f :V→U, то говорят, что пространства V и U изоморфны и пишут .

Теорема 9.5. Отношение быть изоморфными - отношение эквивалентности на множестве линейных просторов
над P. Доказательство. 1) (рефлексивность) V V по 9.2.1; 2) (симметричность) V U U V по 9.3;

3) (транзитивность) Пусть V U і U W, а V U і U W - соответственные изоморфизмы, тогда отображение V W линейное па 8.11 и является биекцией, как композиция биекций, значиться является изоморфизмом и V W. n

Теорема 9.6. Когда dim_p V =n, тогда V P (изоморфно). Доказательство. Пусть dim_p V =n, фиксируем базис в V. Тогда произвольный V мои в этом базисе координаты . Зададим отображение f: V→ Pⁿ: . Поскольку разные векторы в данном базисе имеют разные координаты, f является инъективным отображением. Для произвольного столбца Y = Pⁿ рассмотрим вектор . Очевидно, что , значиться, отображение f - сюрьективное, из чего следует, что f - биекция. n

Следствие 9.7. Все пространства размерности n над полем Р изоморфно. Доказательство: По 9.6. они все изоморфны Р. По 9.5. они изоморфны между собой n