Векторы в евклидовом пространстве

Элементы векторной алгебры

Векторы в евклидовом пространстве

Из школьного курса математики известно, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Если точка А начало, а В конец вектора, то вектор записывается в виде или . Длина вектора обозначается как | |, | |.

Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым. Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными и обозначаются . Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, называются компланарными.

В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, сил, напряженности магнитного поля) можно определить операции, известные, как сложение векторов и умножение их на число.

Сложение производится либо, используя правило параллелограмма, либо - веревочного многоугольника.

Произведением вектора на число называется вектор , определяемый следующими условиями:

1).

2).

3). Векторы и одинаково направлены, если >0, и противоположно - если <0.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают свойствами векторных пространств:

1). .

2). .

3). , где 0 - нулевой вектор.

4). , где - противоположный вектор, 0 - нулевой.

5). , где , - числа.

6). .

7). .

8). .

Сложение векторов и умножение вектора на число со свойствами 1 - 8 называются линейными операциями над векторами.

Рассмотрим векторы на оси. Осью называется прямая на которой выбрано положительное направление. Величиной вектора на оси называется число равное длине вектора, взятой со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус - противоположно направлению оси. Величина вектора обозначается .

Пример. Пусть длина вектора | |=| |=5. Найти величины этих векторов, если они расположены на оси l, как показано на рисунке 1.2.

=5, =-5.

Рис. 1.2

Очевидно, что величина суммы двух и большего числа векторов на оси равна алгебраической сумме величин слагаемых векторов.

Пример. Найти величину суммы векторов и на оси, (рис.1.3) если | |=3, | |=5.