Розв’язання тригонометричних рівнянь

Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівняння з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до квадратного.

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то , .

Оскільки , то , .

Відповідь: ; ; .

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Замінивши на , матимемо:

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то рівняння розв’язків немає.

Оскільки , то ,

Отже

Відповідь:

Приклад 3. Розв’язати рівняння ,

Розв’язання

, .

Нехай , тоді , , .

Маємо: 1) , .

2) , .

Відповідь: .

59. Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) .

13) , 14) ,

15) , 16) .

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Врахувавши, що , матимемо:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:

1) .

2) .

Відповідь: .

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

;

.

1) .

2) .

Відповідь: .

60. Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) .

Рівняння виду , де і не дорівнюють нулю, називається однорідним рівнянням 1-го степеня.

Значення , при яких дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння на . Маємо:

Рівняння виду: називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

Якщо числа не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на (або на ). У даному рівнянні , бо в супротивному випадку теж дорівнював би нулю. Тоді

61. Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8)

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) .

62. Розв’яжіть рівняння

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

до змісту

§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.

Рис. 6

Таблиця 3

			Розв’язків немає
	Розв’язків немає

Рис. 7

Таблиця 4

			Розв’язків немає
	Розв’язків немає

Таблиця 5

63. Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) .

64. Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) .

65. Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) .

66. Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) .

до змісту