Поля вычетов

Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число , т. е. . Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру .

ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но и . Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □

Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, - остатки от деления их на , т. е. и . Тогда и , откуда получаем, что числа и , а также числа и дают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления и на и потом сложим (или умножим) их по модулю , или, если мы сначала сложим (или умножим) и , как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на . Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулю можно не брать остаток от деления на после каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на . Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.

Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению - . Остается показать, что при простом у каждого остатка , отличного от , есть обратный, т. е. что найдется остаток такой, что по модулю . Итак, пусть . Рассмотрим числа

(умножение обычное).

Разность любых двух из этих чисел не делится на , так как простое, а и . Таким образом, все эти чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на . Значит, одно из этих чисел дает при делении на остаток , т. е. по модулю для некоторого остатка .

Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.

В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.

По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.