Группы, кольца, поля

Будем говорить, что в множестве определён закон композиции, если задано отображение упорядоченных пар элементов из в множество (бинарная операция на множестве ). При этом элемент из , сопоставленный с помощью отображения в соответствие элементам из , называется композицией этих элементов.

Композиция элементов и обозначается символом :

.

Для композиции элементов множества используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная форма записи и мультипликативная форма записи (или ). В случае аддитивной записи композиции соответствующий закон называют сложением, а при мультипликативной форме - умножением.

Множество элементов , в котором определён закон композиции, называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов множества определённый элемент этого множества, называется аддитивной группой (обозначается ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

1. (ассоциативность).

2. Существует элемент множества такой, что для любого элемента этого множества (существование нейтрального (нулевого) элемента).

3. Для любого элемента множества существует противоположный элемент такой, что .

В случае мультипликативной формы записи получим определение мультипликативной группы (обозначается ), нейтральный элемент которой называется единичным, а противоположный - обратным .

Если закон композиции, действующий в группе , удовлетворяет следующему требованию:

4. (коммутативность),

то группа называется коммутативной или абелевой.

Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).

ТЕОРЕМА 1. Если , то .

Доказательство. Пусть - противоположный элемент для элемента : . Тогда , т. е. . Следовательно, . Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Для любого элемента группы справедливо соотношение .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 и, кроме того, . Поэтому , т. е. . □

ТЕОРЕМА 3. Если и , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то - противоположный элемент для , и поэтому, согласно теореме 1, . Имеем далее . □

Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия.

СЛЕДСТВИЕ 1. Противоположным элементом для элемента служит элемент . Или, иначе, элемент является как правым, так и левым противоположным элементом для элемента (т. е. и ).

СЛЕДСТВИЕ 2. В любой группе уравнения и однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы и .

СЛЕДСТВИЕ 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (нуль группы)(если и , то ).

Пример 1. Множество целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число , а обратным для служит целое число .

Пример 2. Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный элемент , а обратным элементом для числа служит вещественное число .

Пример 3. Взаимно однозначное отображение множества на себя называется подстановкой из элементов, При этом всякий элемент множества переходит в элемент , обратная подстановка переводит в . Подстановка для любого множества называется тождественной подстановкой. Во множестве подстановок естественным образом определяется закон композиции: если и подстановки, то последовательное проведение этих подстановок представляет собой некоторую подстановку. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество содержит тождественную подстановку, обратную подстановку для каждой своей подстановки и вместе с любыми двумя подстановками и их композицию , то, очевидно, представляет собой группу.

Множество элементов , в котором определены законы композиции, называемые сложением и умножением, называется кольцом (обозначается ), если эти законы удовлетворяют следующим требованиям:

1. - коммутативная группа.

2. (ассоциативность).

3. и (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы называются делителями нуля - нейтрального элемента относительно , если и , но .

Пример 4. Множество целых чисел относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число .

Пример 5. Множество квадратных матриц порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в §1.1. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка , нейтральным элементом по умножению - единичная матрица порядка .

Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым, т.е. для любого существует , такой, что , называется полем.

ТЕОРЕМА 4. Для любого элемента поля : , где нейтральный элемент по сложению.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Таким образом, является нейтральным элементом по сложению, т. е. .

ТЕОРЕМА 5. В поле нет ненулевых делителей нуля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и , то существует обратный элемент , обратный к . Тогда . Но . Отсюда . □

Пример 6. Множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального , существует так же рациональный обратный элемент .