![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.
Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы как на векторы пространства
(соответственно,
). Говорят, что подмножество векторов
линейного пространства является его подпространством, если для всех
и числа
выполнены два условия:
(а) ;
(б) .
Их можно объединить в одно: для любых и чисел
вектор
. В этом случае нетрудно проверить выполнение всех свойств 1-8 сложения и умножения числа на вектор из § 2.1. Поэтому подпространства в свою очередь являются пространствами, т.к. условия 1-8 фактически являются аксиомами «быть пространством» для множества элементов
, в котором заданы операции сложения и умножения числа на элемент из
.
Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо взять произвольное множество векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество
всевозможных линейных комбинаций векторов из
образует подпространство исходного линейного пространства, о котором говорят, что оно порождено векторами
. По теореме о базисах любая максимальная линейная независимая система векторов из
содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему, называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг матрицы по строкам.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в матрице любые столбцов линейно зависимы, то, по свойству 8 определителя, любой минор
порядка равен нулю. Поэтому минорный ранг не больше ранга по столбцам.
Обратно, пусть минорный ранг матрицы порядка
равен
. Так как при расстановке строк и столбцов матрицы ее ранг не меняется, то можно считать, что минор
порядка, не равный
, находится на пересечении первых
столбцов и строк. Рассмотрим «окаймляющий» его минор.
Здесь . Если
, то
содержит две равные строки и, по свойству 4 определителей, равен
. Если же
, то
минор
порядка и равен
по предположению. Вычислим
методом разложения по последней строке:
(6)
Заметим, что ,
не зависят от
. Из равенства (6) получаем:
Это равенство справедливо при любом . Поэтому
столбец исходной матрицы равен линейной комбинации ее первых
столбцов, взятых с коэффициентами:
Итак, первые столбцов образуют максимальную линейную независимую систему столбцов. Значит ранг по столбцам не выше минорного ранга, что заканчивает доказательство теоремы. □
Так как при транспонировании матрицы ее минорный ранг не меняется, то получаем:
СЛЕДСТВИЕ 5. Ранг матрицы по строкам равен ее рангу по столбцам. □
СЛЕДСТВИЕ 6. Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) образуют линейно независимую систему строк (столбцов). □
Доказательство теоремы о ранге дает и метод вычисления ранга матрицы. Именно, найдя минор порядка, не равный
, надо перебрать все его окаймляющие (в теореме надо брать
,
), и, если все они равны
, то ранг матрицы равен
.
Она дает также и способ нахождения максимальной линейно независимой системы строк (столбцов) матрицы. Именно, это будут те строки (столбцы), в которых лежит минор наивысшего порядка, не равный нулю.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.
Минор третьего порядка
окаймляющий , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие
, равны нулю:
т. е. ранг матрицы равен трём.
Назовём элементарными следующие преобразования матриц:
- перестановка строк (столбцов);
- домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
- добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
- вычёркивание нулевой строки (столбца).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из векторов
линейно независима. □
В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы
.
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвёртой строкам, получим
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув нулевую строку, получим матрицу
ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 691 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!