Структурные средние величины

Структурные средние – мода и медиана – применяются для характеристики структуры изучаемой совокупности.

Мода (Мо) в статистике – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в данной совокупности, то есть варианта, имеющая наибольшую частоту:

(17)

Таким образом, для определения моды необходимо наличие частот, т. е. мода рассчитывается только на вариационных статистических рядах распределения. При этом:

– в дискретных вариационных статистических рядах распределения мода определяется непосредственно на предложенных данных;

– в интервальных вариационных статистических рядах распределения мода рассчитывается по специальной формуле, при при­менении которой необходимо соблюдать следующее условие: длины всех интервалов должны быть равными.

В самой же формуле используются следующие допущения:

ü мода расположена в наиболее часто встречающемся интервале (т. е. интервале с наибольшей частотой) – модальном интервале,

ü значения признака в модальном интервале расположены равномерно,

ü мода в модальном интервале тяготеет к той его границе, где частота рядом лежащего интервала (предшествующего или последующего) больше:

(18)

где х_Мо – нижняя граница модального интервала; i_Мо – длина модального интервала; f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f_Мо – частота модального интервала; f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – это значение признака (варианты), расположенного на середине ранжированного статистического ряда (ряда, в котором значения признака расположены в порядке возрастания или убывания), т. е. делит численность упорядоченного статистиче­ского ряда пополам,

ü для индивидуальных данных

. (19)

При этом для данных с нечетным количеством единиц совокупности (обязательно расположенных в порядке возрастания или убывания значений признака) медианой будет значение признака (варианта), расположенная в центре ряда; с четным количеством – рассчитывается по формуле средней арифметической простой из двух центральных смежных вариант.

ü для вариационных статистических рядов распределения:

(20)

Медиана в дискретном вариационном статистическом ряду распределения и медианый интервал в интервальном находятся по данным о накопленных (суммированных) частотах. Так как медиана делит количество единиц совокупности пополам, значит, находится там, где накопленная (кумулятивная) частота составляет половину или больше половины суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины численности совокупности.

Затем, на интервальном вариационном статистическом ряду распределения она рассчитывается по формуле

(21)

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала, i_Ме – длина медиан­ного интервала, åf – сумма частот, S_Ме-1 – сумма частот, накопленных до медианного интервала, f_Ме – частота медианного интервала.

Значение моды и медианы можно определить также графиче­ски: моды – при помощи построения гистограммы, медианы – при помощи построения кумуляты (графика накопленных частот).