Тема 6. Средние величины

6.1. Сущность и значение средней величины.
Виды средних величин.

6.2. Среднее значение признака, методы его расчета.

6.3. Структурные средние величины.

6.1. Сущность и значение средней величины.
Виды средних величин

Средняя величина – один из самых распространенных приемов обобщений, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность развития изучаемого явления. Средняя величина позволяет через единичное и случайное выявить общее в развитии общественного явления.

Средняя величина – это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно-варьирующему признаку в расчете на единицу однородной совокупности.

Правило: средние величины должны исчисляться на основе массового обобщения фактов и применяться к качественно однородным совокупностям.

Средняя величина отражает то общее, типичное, что складывается в отдельном изучаемом явлении, поэтому она должна дополняться другими аналитическими показателями, так как за общими благополучными средними могут скрываться серьезные недостатки.

Каждая средняя величина характеризует совокупность только по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное представление об изучаемом явлении (совокупности по ряду признаков), надо рассчитать систему средних величин.

Средние величины измеряются в тех же единицах, что и признак.

В статистике выделяют следующие виды средних величин:

ü среднее значение признака,

ü структурные средние величины (мода, медиана).

6.2. Среднее значение признака,
методы его расчета

Для расчета среднего значения признака в статистике приме­няются следующие методы расчета средних величин:

ü средняя арифметическая,

ü средняя гармоническая,

ü средняя квадратическая (применяется при исчислении показателей вариации),

ü средняя хронологическая (применяется для расчета среднего уровня ряда в моментных статистических рядах динамики с равными периодами времени между наблюдениями),

ü средняя геометрическая (применяется при исчислении сред­них темпов роста в статистических рядах динамики).

Средняя арифметическая – отношение объема варьирующего признака к числу единиц совокупности:

(1)

Используется две ее формы:

ü простая – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма значений признака каждой единицы совокупности:

(2)

где – среднее значение признака, å – знак суммы «сигма», x – значение признака (варианта), åx – объем варьирующего признака, n – число единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда имеются значения признака по каждой единице совокупности, т. е. на индивидуальных данных.

ü взвешенная – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма произведений значений признака на частоту (вес) (f), а число единиц совокупности (n) рассчитывается как сумма частот (n = å f):

(3)

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда имеются значения признака (x) – качественная особенность единицы совокупности и частота (вес) (f) – число единиц совокупности, обладающих данным значением признака. Указанные характеристики выступают элементами статистического ряда распределения, а так как средняя величина – это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно -варьирующему признаку, то – вариационного статистического ряда распределения.

Таким образом, сфера применения средней арифметической взвешенной – вариационные статистические ряды распределения, которые делятся на два вида:

1. Дискретные – если значения признака представлены отдель­ными (дискретными) числами. Тогда среднее значение признака рас­считывается непосредственно по формуле средней арифметической взвешенной;

2. Интервальные – если значения признака представлены диапазонами, интервалами. Тогда для применения формулы средней арифметической взвешенной необходимо значения признака представить в виде дискретных чисел, т. е. перейти от интервального вариационного статистического ряда распределения к дискретному. Для этого по каждому интервалу значений признака рассчитывается среднее значение признака (как наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно -варьирующему признаку) по формуле средней арифметической простой:

(4)

где – среднее значение признака в i -ом интервале, x_{i max} – верхняя граница i -го интервала, x_{i min} – нижняя граница i -го интервала.

При этом открытые интервалы (т. е. описанные только одной границей – верхней или нижней) закрывают по правилу:

– первый закрывают по длине второго,

– последний – по длине предпоследнего.

Свойства средней арифметической:

ü произведение среднего значения признака на число единиц совокупности равно объему варьирующего признака:

(5)

или

(6)

ü сумма отклонений значений признака от среднего значения признака равна нулю:

(7)

или

(8)

ü если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(9)

Средняя гармоническая (как частный случай средней арифме­тической) – используется в случаях, если известны значения варьирующего признака, и объем варьирующего признака (произведение признака на частоту – х · f), но нет информации о числе единиц совокупности. В практике чаще всего применяется в форме взвешенной:

(10)

Средняя квадратическая – корень квадратный из среднего квадрата значений признака (применяется как показатель вариации признака):

(11)

– в форме простой, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической простой, т. е. на индивидуальных данных:

(12)

и тогда

(13)

– в форме взвешенной, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической взвешенной:

(14)

Cредняя хронологическая – как отношение суммы половины первого и последнего значений признака и полных промежуточных значений признака к числу единиц совокупности, уменьшенному на единицу:

(15)

Средняя геометрическая – корень n -й степени из произведения (П) значений признака (х₁,х₂,…,x_n):

(16)