Парабола. Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой (Рис. 31).

F

y

x

M

O

Рис. 31

А

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. В выбранной системе фокус F имеет координаты (, 0), а уравнение директрисы имеет вид , или .

Эксцентриситет параболы e = 1.

Пусть M (x, y) - произвольная точка параболы. Выведем каноничес­кое уравнение параболы.

Согласно определению параболы: AM = MF.

MF ² = y ² + (x – p /2)², АМ ² = (x + p /2)² + (y - y)²,

(x + p /2)² = y ² + (x – p /2)²

x ² + xp + p ²/4 = y ² + x ² – xp + p ²/4,

т. е.

y ² = 2 px. (3.19)

Уравнение (3.19) называется каноническим уравнением параболы. Точка О (0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

В случае, когда ветви параболы симметричны относительно оси Oy, уравнение параболы записывают так: x ² = 2 py.

Пример 17. На параболе у ² = 8 х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Решение. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. Из усло­вия АМ = 4, или

АМ = x + p /2 = 4 Þ x = 2; y ² = 16; y = ±4.

Искомые точки: M ₁(2; 4), M ₂(2; -4).

Пример 18. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А (2, 8) и симметрична относительно оси Oy. Записать уравнение параболы.

Решение. Уравнение параболы имеет вид x ² = 2 py. Подставим координаты точки А: 2² = 2 р ×8 Þ р = 1/4.

Искомое уравнение: x ² = .