Гипербола. Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2

Определение. Гиперболой называется множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а, мень­шая расстояния между фокусами (рис. 31).

M (x, y)

y

x

a

b

r 1

r 2

c

F 1

F 2

В 1

В 2

А 1

А 2

Рис. 30

Выберем фокусы так, чтобы они лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F ₁ F ₂, тогда фокусы имеют координаты F ₁(- c, 0), F ₂(c, 0), значит расстояние между ними равно 2 с. По определению 2 а < 2 c, т. е. a < c.

Пусть M (x, y) - произвольная точка гиперболы. Тогда, по определе­нию гиперболы, | MF ₁ - MF ₂| = 2 a или MF ₁ - MF ₂ = ±2 a, т. е.

.

После упрощений, аналогичных упрощениям при выводе уравнения эл­липса, получим каноническое уравнение гиперболы

, (3.17)

где

.

Точки А ₁(a,0), А ₂(- a,0) называются вершинами гиперболы, отрезок А ₁ А ₂ = 2 a называется действительной осью гиперболы, a – действительной полуосью.

Отрезок В ₁ В ₂ = 2 b, соединяющий точки B ₁(0, b) и B ₂(0,- b), называется мнимой осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяю­щего фокусы и относительно осей координат.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Эксцентриситет характеризует вытянутость основного прямоуголь­ника, причем если эксцентриситет близок к единице, то ветви гиперболы сильно прижаты к оси Ox. С учетом того, что с ² – а ² = b ²

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

В случае, когда вершины гиперболы лежат на оси Oy, уравнение гиперболы записывают так

, (3.18)

а асимптоты

Очевидно, что гиперболы (3.17) и (3.18) имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Определение. Две прямые, перпендикулярные действитель­ной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a /e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и дирек­трисы эллипса.

Фокальные радиусы и для точек правой ветви гиперболы имеют вид и , а для левой - и

Пример 15. Определить вершины, фокусы, эксцентриситет и асим­птоты гиперболы .

Решение. В соответствии с формулой (3.18) имеем

а = 2, и b = 3, ,

Пример 16. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриси­тет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравне­нием

Решение. Находим фокусное расстояние c ² = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c ² = a ² + b ² = 16, e = c / a = 2; c = 2 a; c ² = 4 a ²; a ² = 4; b ² = 16 – 4 = 12.

Получили: - искомое уравнение гиперболы.