Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча - полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для изме­рения длин отрезков.

O

j

x

y

M (x; y)

r

Рис. 18

Пусть задана полярная система координат и пусть М - про­извольная точка плоскости. Пусть r - расстояние точки М от точки О; j - угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис. 19).

Полярными координатами точки М называют­ся числа r и j. При этом число r считается первой координатой и называется полярным радиусом, число j - второй координатой и называется полярным углом, пишут M (r; j).

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол j ограничить промежутком (-p; p] (или 0 £ j < 2p), а полярный радиус r - [0; ¥).

Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Для этого совместим начало прямоугольной системы координат Oxy с полюсом, а положительную полуось абсцисс - с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты r и j (рис. 19). Очевидно,

х = r cos j, у = r sin j (3.1)

Формулы (3.1) выражают прямоугольные координаты через поляр­ные. Выражения полярных координат через прямоугольные сле­дуют из формул (3.1):

, . (3.2)

Заметим, что формула определяет два значения полярного угла j, так как j изменяется от -p до p. Следует установить (по знакам x и y) четверть, в которой лежит искомый угол.

Пример 1. Дана точка М (2;2). Найти полярные координаты точки М.

Решение. Из формул (3.2) находим r и j

, .

Отсюда j = p/4 или j = 5p/4. Но т. к. точка М лежит в первой четверти, то нужно взять j = p/4. Итак, М (; p/4).