![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
![]() |
h |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 17 |
Геометрический смысл смешанного произведения
Теорема2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, взятого со знаком «+», если
,
,
- правая тройка векторов, и со знаком «-», если
,
,
- левая тройка векторов (рис. 18).
Доказательство. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах и
. Заметим, что вектор
.
Имеем
,
,
где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах и
;
- для правой тройки векторов,
- для левой тройки векторов, где h - высота параллелепипеда.
Получаем
,
где V - объем параллелепипеда, образованного векторами ,
,
.
Свойства смешанного произведения
1) .
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.
2) .
Действительно, в силу первого свойства , откуда в силу свойств скалярного произведения следует, что
.
Поэтому принято смешанное произведение обозначать ().
3) ,
,
.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4) Смешанное произведение ненулевых векторов ,
и
равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны
, если
,
и
- компланарны).
Допустим, что это не так. Тогда, можно было бы построить параллелепипед с объемом V ¹ 0. Но , что противоречит условию
.
Обратно, пусть векторы ,
и
- компланарны. Тогда
будет ортогонален плоскости векторов
,
, и, следовательно,
. Поэтому
, т. е.
.
5) Если заданы векторы { xa, ya, za },
{ xb, yb, zb } и
{ xс, yс, zс } в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами
, то
(
)=
.
Доказательство. Т. к. , используя выражения в координатах для векторного и скалярного умножения, имеем
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор
(
)
.
Некоторые приложения смешанного произведени векторов
1°. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.
Если , то
- правая тройка, если
, то
- левая тройка.
2°. Установление компланарности векторов.
Векторы ,
и
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (
,
,
)
Û
Û
,
и
компланарны.
3°. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах ,
и
вычисляется как
, а объем треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на этих же векторах, равен
.
Пример18. Вычислить , если
Очевидно, что вектора являются компланарными, поэтому,
Пример19. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: А (1;4;0), В (0;6;4), С (−4;4;− 6), D (−4;8;2). Найти объем тетраэдра.
Решение. Построим три вектора с общим началом:
Вычислим смешанное произведение указанных векторов
Тогда
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 811 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!