![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 13 |
Определение. Векторным произведением векторов и
называется вектор
, удовлетворяющий следующим условиям:
Рис. 14 |
![]() |
![]() |
![]() |
2) вектор ортогонален векторам
и
;
3) ,
и
образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или
(рис. 15).
Для ортонормированных векторов произведение любых двух смежных векторов последовательности
(2.14)
дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности со знаком «-». Например,
,
.
Геометрический смысл векторного произведения
j |
![]() |
![]() |
Рис. 15 |
Свойства векторного произведения
1) .
Это свойство очевидно, т. к. синус - функция нечетная.
2) , если
или
= 0 или
= 0.
Если вектора коллинеарны, то .
3) (l )´
=
´(l
) = l (
´
);
4) ´(
+
) =
´
+
´
;
5) Если заданы векторы { xa, ya, za } и
{ xb, yb, zb } в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами
, то
´
=
.
Доказательство. Разложим векторы и
по базису
На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно с учетом формулы (2.14)
Некоторые приложения векторного произведения
1°. Установление коллинеарности векторов.
Если , то
(и наоборот), т. е.
´
=
или
.
2°. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
Действительно, площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы и
, равна модулю их векторного
произведения , а площадь треугольника со сторонами
и
вычисляется по формуле
.
О |
l |
![]() |
![]() |
Рис. 16 |
Если сила поворачивает тело вокруг оси l, то момент
силы
относительно точки О, равен
(рис. 17).
Пример14. Найти векторное произведение векторов и
.
Решение.
= (2, 5, 1),
= (1, 2, -3).
.
Пример15. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2, 2, 2), В (4, 0, 3), С (0, 1, 0).
Решение. Выпишем координаты векторов и
,
.
Найдем векторное произведение векторов
Значит, (ед2).
Пример16. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение.
.
(ед2).
Пример17. Сила приложена в точке В (1, 2, 3). Найти момент
этой силы относительно точки А (2, -1, 0).
Решение. Определим координаты вектора . Для момента силы получаем выражение
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 558 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!