![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов
и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Свойства скалярного произведения
1) ×
=
, т. к.
.
В частности: ;
2) ×
= 0, если
^
(
) или
= 0 или
= 0.
В частности: ;
3) ×
=
×
;
4) ×(
+
) =
×
+
×
;
5) (m )×
=
×(m
) = m (
×
).
Пример9. Найти длину вектора , если
,
,
.
Решение. Воспользуемся свойством 1) скалярного произведения векторов
.
Пусть заданы два вектора в ортонормированном базисе
и
.
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения). Очевидно, что , остальные скалярные произведения равны нулю, тогда
В частности,
Итак, скалярное произведение векторов и
равно сумме произведений их одноименных координат.
Некоторые приложения скалярного произведения
1°. Нахождение угла между двумя векторами.
Если и
- ненулевые векторы, то из определения скалярного произведения следует
. (2.12)
Отсюда следует условие перпендикулярности ^
ненулевых векторов
2°. Нахождение проекции одного вектора на направление другого.
Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором
может осуществляться по формуле
. (2.13)
3°. Работа постоянной силы.
А |
В |
j |
![]() |
![]() |
Из физики известно, что работа силы при перемещении
равна
или
.
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример10. Найти угол между векторами и
.
Решение. Используя формулу (2.12), имеем
.
Пример11. Найти , если известно, что А (-1, 2, 1), В (1, 0, 3), С (2, 2, -3).
Решение. Найдем координаты векторов и
,
.
Из соотношения (2.13) имеем
.
Пример12. Найти значение коэффициента a, при котором векторы и
будут взаимно перпендикулярны, если
,
и угол между векторами
и
равен
.
Решение. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю
.
Произведения векторов по определению скалярного произведения будут
,
,
.
Таким образом, откуда a = 20.
Пример13. Найти работу, производимую силой , на прямолинейном перемещении из положения А (1, 3, 5) в положение В (3, 3, 7).
Решение. Вектор перемещения .Искомая работа
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 432 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!