Преобразование Лапласа

Спектральные методы анализа сигналов основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону .

Естественное обобщение этого принципа состоит в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида , где - комплексное число,

,

получившее название комплексной частоты.

Из двух таких комплексных сигналов всегда можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу

, (1.16)

где - комплексно-сопряженная величина.

Действительно, при этом

. (1.17)

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получать разнообразные вещественные сигналы, так, если , но , получаем обычные гармонические колебания вида . Если же , то в зависимости от знака будем получать либо нарастающие либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда ; в этом случае множитель играет роль огибающей, экспоненциально изменяющейся во времени. Некоторые характерные случаи описанных сигналов изображены на рисунке 2.

Рисунок 2. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты.

Введение понятия комплексной частоты весьма плодотворно, прежде всего, потому, что появляется возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получить спектральное представление сигналов. Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота играет роль мнимой части комплексной частоты.