Дискретное представление сигналов. Теорема Котельникова

Если в спектре сигнала нет составляющих с частотой выше , то такая частота называется предельной частотой в спектре и спектральная плотность при частотах выше равна нулю:

при .

Один из вариантов представления таких сигналов в виде суммы нескольких аналитически однотипных сигналов – разложение по функциям , обозначаемым иногда (рис.4). Разложение такого типа получило широкое распространение после того, как в 1933 г. В. А. Котельниковым была доказана теорема, носящая сейчас его имя.

Теорема гласит: если наивысшая частота в спектре функции меньше , то функция полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений через интервалы времени, не превышающие .

Сигнал может быть точно востановлен согласно выражению, называемому рядом Котельникова:

. (1.35)

Первые множители слагаемых в формуле (1.35) представляют собой отсчеты сигнала в моменты времени , вторые – функцию вида .

Рисунок 4. График функции .

Естественно, что в действительности отсчеты мгновенных значений сигнала могут быть сделаны лишь в интервале наблюдения , где и - целые числа. В соответствии с этим сигнал восстанавливается не по формуле (1.35), а с некоторой погрешностью рядом вида

. (1.36)

Все реальные радиоэлектронные устройства имеют ограниченную полосу пропускания, и определенные частоты не представляет особых трудностей. Основываясь на теореме Котельникова, во многих практически важных случаях можно регистрировать только мгновенные значения сигнала и впоследствии восстановить его полностью с заранее известной погрешностью.

Представление непрерывного сигнала рядом вида (1.36) – один из способов дискретизации сигнала. В некотором смысле Фурье-разложение периодического сигнала, например представление его в виде косинусоид, также является дискретизацией.