Линейная комбинация векторов. Базис

Пусть заданы векторы и числа . Выражение называется линейной комбинацией векторов . Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда

. (37)

Если равенство (37) возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно-независимыми. Если же это равенство справедливо не при всех , где , то векторы называются линейно-зависимыми.

Пусть линейно-зависимы. Тогда среди найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть . Разделив обе части равенства (37) на , получим

,

где .

Выражение , является линейной комбинацией векторов . Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейно-зависима. Пусть, например,

.

Тогда и коэффициент при отличен от нуля. Это означает, что вектора линейно-зависимы. Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства (рис. 15-17).

В то же время два неколлинеарных вектора плоскости (рис.16) или три некомпланарных вектора пространства (рис.17) являются примерами линейно-независимых векторов.

Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространства ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространства ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.

Пусть векторы образуют базис пространства . Тогда любой вектор этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.

. (38)

Представление вектора в форме (38) называется разложением этого вектора по базисным векторам.

Числа разложения называются координатами вектора по базису . Этот факт записывается в виде .

Векторы , образующие базис, имеют общее начало 0 и вектор , где - некоторая точка пространства, то числа называют также координатами этой точки. Этот факт записывают в виде .