Числовые характеристики случайных величин, отражающих особенности распределения

Определение 1.Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает не в одной, а в нескольких точках, то распределение называют полимодальным.

Определение 2. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, которое определяется равенством:

То есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше медианы или больше ее, одна и та же и .

Геометрически: вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой = , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.

Пример: Найти моду, медиану и случайной величины Х с плотностью вероятности при

Построим кривую распределения

			½
			3/4

Определение 3.Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени этой величины.

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

Определение 4. Центральным моментом

k -го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Нетрудно заметить, что при первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание, т.е. , при - второй центральный момент – дисперсия, т.е. .

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:

Итак, первый начальный момент характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины Х или ее .

Второй центральный момент - степень рассеивания распределения Х относительно - или .

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Поэтому, чтобы получить безразмерную величину, ее делят на .

Определение 5.Коэффициентом асимметрии А называется величина, равная отношению третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения.

I. Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения более полога слева от (левосторонняя асимметрия) .

II. Если коэффициент , а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более полога справа от (правосторонняя асимметрия) .

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Определение 1. Эксцессом случайной величины называется число:

I. Для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения (который будет рассматриваться далее) отношение . Поэтому эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого .

II. Если для данного распределения , то соответствующая кривая распределения более островершинная по сравнению с кривой нормального распределения.

III. Если , то кривая распределения более плосковершинная.

Пример: Случайная величина задана функцией:

Вычислим начальные моменты до 4-го порядка:

Найдем центральные моменты: