Интегральная теорема Лапласа

Пусть проводится серия n – независимых испытаний на наступление события А, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р .

Теорема. Вероятность того, что событие А в серии n – независимых испытаний появится не менее - раза и не более - раз приближенно равна:

,

где ;

При решении такого вида задач пользуются специальными таблицами.

Свойства функции Ф(х):

1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. ;

2. Наименьшее значение функция принимает в точке х=0 ;

3. Наибольшее значение функция принимает при х=5 ;

4. Для всех х>5 берут значение .

Пример: Вероятность того, что вес зерен гороха 0,25г. = 0,3. К.в.т.,ч. среди взятых 200 штук, с этим весом будет от 50 до 70 штук.

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n – независимых испытаний вероятность того, что:

а) Число m наступлений события А отличается от произведения не более, чем на величину (по абсолютной величине), т.е.

б) Частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е.

, где

в) Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа

Пример 1: В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют морозильники. К.в.т.,ч. от 280 до 360 семей из 400 имеют морозильники.

Воспользуемся следствием (а)

Пример 2: По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. К.в.т.,ч. из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: