Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть заданы две прямые:

а) общими уравнениями

с вектором нормали

с вектором нормали ;

б) уравнениями с угловыми коэффициентами

;

в) каноническими уравнениями

проходит через точку с направляющим вектором

проходит через точку с направляющим вектором .

Возможны следующие случаи расположения прямых:

1. Прямые параллельны, тогда а) векторы нормали коллине-арны, следовательно, , если при этом , то прямые совпадают;

если прямые параллельны, то можно найти расстояние между ними, для этого нужно воспользоваться формулой (23) рассто-яния от точки до прямой, то есть

или

;

б) направляющие векторы коллинеарны, следовательно, , если при этом точка принадлежит прямой , то прямые совпадают;

в) угловые коэффициенты равны , если при этом , то прямые совпадают.

2. Прямые пересекаются, тогда а) ;

б)

Рис.8

Прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол ,прямая -угол ,угол между прямыми- (, из чертежа видно, что , следовательно,

, тогда ,

получаем формулу:

(24)

в) .

3. Прямые перпендикулярны, тогда а) их векторы нормали перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение равно нулю =0;

б) , из формулы (24) следует, что ;

в) направляющие векторы прямых перпендикулярны, следо-вательно, их скалярное произведение равно нулю:

.