Частные случаи расположения плоскости

Рассмотрим общее уравнение плоскости: 1.Если , то уравнение примет вид , координаты точки удовлетворяют этому уравнению, значит плоскость проходит через начало координат.

2.Если , то уравнение будет иметь вид , тогда вектор нормали к плоскости будет перпенди-кулярен оси , значит данная плоскость параллельна оси .

3.Аналогично, при плоскость будет параллельна оси .

4. При плоскость будет параллельна оси .

5.Если , то уравнение плоскости примет вид , то есть плоскость проходит через начало коорди-нат и параллельна оси , значит плоскость проходит через ось .

6.Если , то плоскость проходит через ось .

7.Если , то плоскость проходит через ось .

8.Если , то уравнение плоскости будет иметь вид , вектор нормали к плоскости перпенди-кулярен плоскости , следовательно, данная плоскость будет параллельна плоскости .

9.Если , то плоскость параллельна плоскости .

10.Если , то плоскость параллельна плоскости .

11.Если , то уравнение плоскости или , эта плоскость проходит через начало координат и парал-лельна плоскости , то есть это координатная плоскость .

12.Если , то есть - это уравнение коорди-натной плоскости .

13.Если , то есть - это уравнение коор-динатной плоскости .

Рис.2

Пусть плоскость не параллельна ни одной из осей, тогда эта плоскость отсекает на осях координат отрезки (рис.2). Воспользуемся общим уравнением плоскости (4), где . Найдем коэффициенты уравнения, используя координаты точек пересечения плоскости с осями координат. Так как эти точки лежат в плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению (4), следовательно, , откуда ,

, тогда и , тогда . Подставляя эти соотношения в (4), получим: , так как , разделим это равенство на и получим:

(7)

Это уравнение плоскости в отрезках; числа показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная плоскость.

Пусть известны координаты вектора нормали к плоскости и координаты точки , которая принад-лежит плоскости. Надо составить уравнение данной плоскости.

Возьмем произвольную точку плоскости , тогда век-тор тоже будет принадлежать плос-кости, вектор нормали, перпендикулярный плоскости,перпенди-

кулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, то есть , а тогда скалярное произведение этих векторов рав-но нулю:

(8)

Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали. При всевозможных значениях равенство (8) определяет совокупность всех плоскостей, проходящих через точку , и называ-ется уравнением связки плоскостей, проходящих через задан-ную точку.

Пример 1. Даны точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпен-дикулярной вектору .

Решение. Вектор будет являться вектором нормали плоскости, его координаты равны . Теперь вос-пользуемся уравнением (8):

или

Пусть заданы три точки

.Надо составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки. Для этого возьмем произвольную точку этой плоскости, тогда векторы лежат в данной плоскости, то есть компланарны. Следовательно, их смешанное произведе-ние равно нулю или

(9)

Уравнение (9) – это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.