Сложное напряженное состояние. Главные напряжения, главные площади. Гипотеза разрушения материалов

На практике нередки случаи, когда в поперечных сечениях бруса возникают сразу несколько внутренних силовых факторов. Такие случаи называют сложным сопротивлением. Расчеты на прочность и жесткость при сложном сопротивлении основываются на принципе независимости действия сил. Иногда эти расчеты можно упростить, если пренебречь (в пределах требуемой степени точности) второстепенными деформациями и привести таким образом сложную деформацию к более простой.

Напряженное состояние в точке определяется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих в сечениях, проведенных через эту точку. Для исследования напряженного состояния в окрестностях рассматриваемой точки выделяют элемент в виде бесконечно малого параллелепипеда (рис. 2.34). На его гранях действуют внутренние силы, заменяющие действие удаленной части и вызывающие появление напряжений. В общем случае полные напряжения на гранях можно разложить на нормальные , направленные по нормалям к граням, и на два касательных , лежащих в их плоскостях.

Таким образом, на трех взаимно-перпендикулярных площадках в общем случае возникают девять компонентов, характеризующих напряженное состояние в точке. Столько же, но противоположно направленных, напряжений возникает на трех противоположных гранях элемента.

В соответствии с законом парности касательных напряжений, вытекающим из условия равновесия выделенного элемента на двух взаимно-перпендикулярных площадках, составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны и направлены либо к ребру, либо от ребра.

Следовательно, из девяти компонентов независимыми друг от друга являются только шесть. И если эти напряжения известны, то методами статики можно определить напряжение в любой другой плоскости, проходящей через рассматриваемую точку, т.е. напряженное состояние в точке известно, если определены напряжения на трех взаимно-перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку.

Доказано, что через заданную точку напряженного тела всегда можно провести три взаимно-перпендикулярные плоскости, на которых касательные напряжения равны нулю. В этом случае три взаимно-перпендикулярные площадки называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них - главными напряжениями, которые обозначают в порядке уменьшения алгебраического значения: . В зависимости от величины главных напряжений различают следующие виды напряженного состояния в точке (рис. 2.35):

объемное (трехосное), в котором все три главных напряжения отличны от нуля;

плоское (двухосное), в котором одно из главных напряжений равно нулю: ;

линейное (одноосное), когда и равны нулю.

Напряженное состояние в какой-либо точке одного тела можно сравнивать с напряженным состоянием в точке другого тела только в том случае, если главные напряжения в этих точках подобны друг другу, т.е. характеризуются пропорциональными главными напряжениями. Таким образом, расчеты на прочность можно вести, если известны главные напряжения, возникающие в данной точке, и соответствующие предельные напряжения в точке тела при напряженном состоянии, подобном исследуемому. Такой расчет приемлем для одноосного напряженного состояния и невозможен в других случаях в силу разнообразия материалов, сочетания главных напряжений и невозможности воспроизвести их в лабораторных условиях.

Оценку прочности элемента в условиях какого угодно напряженного состояния предлагают теории предельных напряжений.

Рис. 2.35. Напряженное состояние в точке:
а – объемное; б – плоское; в – линейное

Теории прочности. В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении: .

Гипотеза наибольших нормальных напряжений. Эта гипотеза была выдвинута Галилеем 1638 году и носит название первой теорией прочности.

В основу теории наибольших напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений.

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Эта теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Гипотеза наибольших линейных деформаций. Эта гипотеза была выдвинута Мариоттом в 1682 году и носит название второй теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю относительная линейная деформация достигает предельного значения при простом растяжении или сжатии.

Максимальные относительные деформации согласно обобщенному закону Гука определяются при растяжении и сжатии соответственно по зависимостям:

.

Предельное значение относительной деформации при растяжении

Откуда получаем .

Тогда условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд существенных недостатков, поэтому она не применяется для расчетов.

Гипотеза наибольших касательных. Эта гипотеза была выдвинута Кулоном в 1773 году и носит название третьей теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала.

При объемном напряженном состоянии

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или .

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительные результаты.

Подставляя значения главных нормальных напряжений, выраженных через нормальные и касательные напряжения, получаем

.

Гипотеза энергии формоизменения. Эта гипотеза была выдвинута Бельтрами в 1885 году и Губером в 1904 году и носит название четвертой теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

.

Предельное значение при простом растяжении

.

Условие прочности в этом случае имеет вид:

Подставляя значения главных нормальных напряжений, выраженных через нормальные и касательные напряжения, получаем

Гипотеза прочности Мора (пятая теория прочности). Гипотеза прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материала при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации гипотезы наибольших касательных напряжений.

Условие прочности по гипотезе Мора имеет следующий вид:

Основные механические свойства материала. Диаграмма напряжений и деформаций для пластичных и хрупких материалов. Предельное напряжение. Твердость, ударная вязкость, способы измерения.

Основные механические свойства твердых тел: деформационные (жесткость, пластичность. ползучесть, твердость, предельные деформации при разрушении), прочностные (предел прочности s, долговечность, усталостная прочность, работа разрушения при ударном воздействии), фрикционные (коэффициент трения и износа). Значения показателей механические свойства не являются физ. постоянными вещества; они могут зависеть от формы и размеров изделия, условий испытания, состава окружающей среды, состояния поверхности испытуемого образца, фазового и релаксационных состояний материала, определяемых его предысторией, составом, структурой. Поэтому для сравнения различных материалов по механическим свойствам важно строго стандартизировать условия и режим их определения.

Необходимые сведения о различных механических свойствах материала получают экспериментальным путем. Самым распространенным является испытание на растяжение. Испытание производят на разрывной машине стандартного образца. При нагружении снимают показание растягивающей силы и длину образца. Затем строится условная диаграмма растяжения в координатах . Напряжение в сечении определяют по зависимости: , где сила нагружения, площадь поперечного сечения образца.

Относительная линейная деформация определяется из выражения ,

где относительное удлинение образца, исходная длина образца, длина образца в данный момент отсчета.

Диаграмма растяжения для пластичных материалов.

На диаграмме растяжения можно выделить четыре характерные участка.

участок пропорциональности, выполняется закон Гука .

площадка текучести. На этом участке происходит удлинение образца без изменения нагрузки. Напряжение, при котором происходит течение образца, называется пределом текучести и обозначается .

участок упрочнения. На этом участке для дальнейшего удлинения образца необходимо увеличить нагрузку.

В точке происходит образование шейки и на участке происходит местное удлинение образца. Напряжение, при котором образуется шейка, называется пределом прочности и обозначается .