Статистическая неопределенность задачи на растяжение, сжатие

Статическая неопределенная задача – это упругая система, в которой количество неизвестных внутренних усилий и реакций опор больше числа уравнений статики.

Для расчетов составляется силовая схема заданной системы, на которой указываются все известные и неизвестные силовые факторы.

При составлении силовой схемы в случае определения внутренних силовых факторов применяется метод сечений, согласно которому каждое звено системы разделяется на две части в произвольном сечении, затем отбрасываются части, примыкающие к опорным элементам, а их действие на оставшиеся части заменяется продольными силами. После этого на схеме показываются все заданные внешние силы и реакции опор.

Затем по этой схеме устанавливается возможное число независимых уравнений равновесия. Степень статической неопределимости подсчитывается, как разность между числом неизвестных сил и числом независимых уравнений равновесия.

Операции по определению неизвестных силовых факторов в статически неопределимых системах принято называть раскрытием статической неопределимости.

При решении любых задач число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Для определения сил в стержнях статически неопределимых систем следует составлять уравнения, дополняющие уравнения равновесия до числа неизвестных сил. Дополнительные уравнения, называемые уравнениями совместности перемещений или деформаций, составляют, определяя перемещения отдельных стержней системы и устанавливая между ними связь.

При решении статически неопределимых систем, в стержнях которых действуют продольные силы, можно отметить основные этапы:

1) анализ работы конструкции с указанием действующих силовых факторов и выяснением деформации ее элементов, определение степени статической неопределимости;

2) статическая сторона задачи – составляют уравнения равновесия для системы или отсеченных ее частей;

3) геометрическая сторона задачи – выясняют, как деформируются стержни системы, изображают систему в деформированном виде, устанавливают связи между перемещениями отдельных элементов системы, составляют уравнения совместности перемещений;

4) физическая сторона задачи – выражает деформации элементов, согласно закону Гука, через действующие в них неизвестные усилия;

5) синтез – определяют неизвестные силы, решая совместно систему уравнений равновесия и перемещений.

Статически неопределимые конструкции характеризуются рядом особенностей, по сравнению со статически определимыми системами. Так, при эксплуатации конструкции возможно изменение ее температуры, вызванное условиями работы или сменой времен года. С изменением температуры изменяются линейные размеры элементов конструкции: увеличиваются при нагреве, уменьшаются при охлаждении на величину

,(2.38) где - температурный коэффициент линейного расширения; - длина элемента; - изменение температуры, (⁰С).

В статически определимых системах длина стержня может свободно изменяться при их нагреве или охлаждении (рис.2.41).

Рис.2.41

В статически неопределимых системах при изменении температуры возникают дополнительные силы. Если нагреть стержень, жестко закрепленный по концам (рис.2.42 а), то его длина не может изменяться: этому препятствуют жесткие заделки. В опорах (заделках) возникают реакции, сжимающие стержень.

Так как неизвестных сил две, а уравнение равновесия можно составить только одно: , то система один раз статически неопределима.

Решая геометрическую часть задачи, составляем уравнение перемещений. Отбросим одну из опор и заменим ее действие неизвестной силой . Теперь стержень при нагреве может удлиниться на величину (рис.2.42, б).

Рис.2.42

Так как длина стержня остается неизменной, перемещение сечения должно быть равно нулю, следовательно, сила должна сжать стержень на величину, равную его удлинению при нагреве: .

Решая физическую часть задачи, с учетом равенства получаем .

Тогда продольная сила в сечениях стержня ;

напряжение в стержне .

Отметим, что напряжение в стержне не зависит от площади сечения.

Элементы конструкций изготовляют с определенной точностью. При сборке статически неопределимых систем, имеющих неточно изготовленные стержни, стержни приходится деформировать (удлинять или укорачивать), при этом в них возникают напряжения, называемыми начальными или монтажными.