Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Задание №6. Решить матричное уравнение, сделать проверку.
.
Решение
Запишем данное уравнение в матричной форме:
, где
; ; .
Преобразуем уравнение к виду и выполним действия с матрицами в правой части:
.
Обозначим полученную матрицу и запишем уравнение в виде . Умножив обе части последнего равенства на справа, получим:
.
Имея в виду, что , решением данного уравнения будет , где − матрица, обратная матрице .
Найдём обратную матрицу так, как описано в разделе 2.1.1. на стр. 15, тогда
.
Найдем решение данного уравнения, умножив матрицу на матрицу . Напомним, что одну матрицу на другую можно умножать тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В нашем случае матрица имеет размер , а матрица − , значит, произведение имеет смысл (3=3), причем, при умножении получится матрица размера .
По правилу умножения получим:
.
Итак, .
Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение:
.
Так как найденное решение обращает уравнение в тождество, то решение найдено верно.
Ответ: .
Задание №7. Дана функция , график которой проходит через три заданные точки , , . Найти параметры , , , решив получившуюся систему методом Гаусса, построить график функции .
Решение
Подставим координаты заданных точек в уравнение :
Получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными для нахождения коэффициентов , , :
.
Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:
.
Выполним над этой матрицей необходимые элементарные преобразования. Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого умножим последовательно первую строку на , и на и прибавим ее ко второй и третьей строке соответственно:
Разделим все элементы второй строки на , а третьей − на :
Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого вторую строчку умножим на и прибавим к третьей:
Разделим третью строчку на 2:
.
Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, которая эквивалентна матрице , соответствует следующая система, равносильная данной:
Прямой ход метода Гаусса закончен. В результате обратного хода получим:
Таким образом, получаем решение системы: .
Сделаем проверку:
Так как все уравнения системы обратились в тождества, то решение верное.
Но тогда
.
− уравнение параболы с вершиной в точке , которая проходит через три данные точки , , , пересекает ось в точке , ось не пересекает, так как уравнение не имеет действительных корней.
Построим график функции .
Задание №8. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
.
Решение
Вычислим главный определитель системы:
.
Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:
; ; .
Вычислим вспомогательные определители:
.
.
.
Но тогда
; ; .
Ответ: ; ; .
Задание №9. Решить уравнение . Ответ представить в тригонометрической форме. Модуль вычислить с точностью до 0,01, а аргумент в градусах. Изобразить полученные числа на комплексной плоскости.
Решение
Очевидно, что из .
Чтобы выполнить деление комплексных чисел, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на , получим:
.
Итак, . Очевидно, чтобы решить это уравнение надо найти все значения . Обозначим .
Известно, что корень n−й степени из комплексного числа имеет n различных значений, которые находятся по формуле:
,
где ; .
Найдём тригонометрическую форму комплексного числа как описано в разделе 2.1.3.: ;
Тогда число в тригонометрической форме для нашего примера будет иметь вид:
.
Но тогда .
Полагая , найдем
или
или
или .
Изобразим полученные числа , на комплексной плоскости.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 303 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!