Векторные скорости и ускорения точек тела

Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением

, (5-3)

где - радиус-вектор точки М, проведенный из произвольной точки оси вращения .

Это выражение называется векторной формулой Эйлера.

Доказательство. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , следовательно, по направлению он совпадает со скоростью . Модуль векторного произведения Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки.

Рис. 5-2

Определим ускорение точки продифференцировав формулу Эйлера.

, или

Первое слагаемое является касательным ускорением, а второе – нормальным.

.

Сопоставление двух формул для скорости точки ( и ) дает формулу для вычисления производной по времени от вектора :

.

В этой формуле вектор имеет постоянный модуль, так как соединяет все время две точки твердого тела.

9. Плоско-параллельное движение твёрдого тела и движения плоской фигуры в её плоскости. Уравнения движения плоской фигуры.

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Если в теле провести некоторую прямую О₁О₂, перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

Рис. 6-1

Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.