Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки в плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку О плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось Ox. Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы радиус r и полярный угол  как функции времени, т.е.

и . (3-1)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Если из уравнений (3-1) исключить параметр - время t, то получим уравнение траектории в полярных координатах: .

Введем единичный вектор , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда .

Для скорости получаем выра-жение

Производная от единичного вектора по времени равна

(без доказательства)

- единичный вектор,направление которого получается поворотом вектора на 90⁰ в положительном направлении угла .

После этого для скорости получаем выражение

Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.

- радиальная скорость; - трансверсальная скорость.

Модуль скорости равен .

Определим ускорение точки

После дифференцирования получаем

Получили разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.

- радиальная скорость;

- трансверсальная скорость.

Модуль ускорения равен .

2. Поступательное движение твёрдого тела. Теорема о скоростях и ускорения точек

Поступательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жёстко скреплённая с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.

Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли.

Траектории точек у поступательно движущегося твердого тела могут быть не только прямыми, но и кривыми, в том числе окружностями.

Теорема. При поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Если выбрать две точки твердого тела А и В, то радиус-векторы этих точек связаны соотношением . Траектория точки А это кривая, которая задается функцией , а траектория точки В это кривая, которая задается функцией . Траектория точки В получается переносом траектории точки А в пространстве вдоль вектора , который не меняет своей величины и направления во времени. Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.

Продифференцируем по времени выражение .

Получаем , так как . Продифференцируем по времени скорости и получим выражение .

Рис. 4-3

Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Что и требовалось доказать.

Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной любой его точки.

Твёрдое тело при поступательном движении имеет три степени свободы.

Для задания движения твердого тела в декартовой системе координат достаточно знать координаты любой его точки.

Функции называются уравнениями поступательного движения твердого тела.

3.Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение движения. Углавая скорость и угловое ускорение.