Решение типовых задач. А) - совместная группа равновозможных событий.

Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда

а) - совместная группа равновозможных событий.

б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .

в) - полная группа событий.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна 4. Найти .

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е.

Это ошибка, так как и не равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если

а) каждый раз шар возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и

.

б) шар не возвращается в урну.

- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда

.

Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Пример 5. В цехе типа станков с одинаковой производительностью изготавливают один и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей стандартного качества, 2-го типа-0,9, 3-го типа –0,85, которые в нерассортированном виде лежат на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартного качества, если станков 1-го типа 5,2-го, 3-го –2.

Решение. Пусть - наудачу взятая деталь стандартного качества. Тогда гипотезы: - деталь произведена станком 1-го типа, - 2-го типа, - 3-го типа. Так как производитель-ность станков одинакова, то . Если деталь произведена станком 1-го типа, то . Аналогично

Пример 6. В условиях примера 5 наудачу взятая деталь оказалась стандартного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на станке 2-го типа .

Решение. - вероятность гипотезы до испытания (до появления события ), - после испытания.

Пример 7. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти вероятность попадания ровно 4 раза из 6 выстрелов.

.

Пример 8. Построить график и , если

Решение.

Рисунок 1

Найдем

Рисунок 2

Пример 9. Дано

X	0,1
p	0,4	0,2	0,15	0,25

Решение.

Тогда 67,6404, 408,072.

10 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ