Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
.
приведены таблицы для . При , учитываем, что чтобы использовать таблицу формулу (6) переписывают в виде
. (7)
Если число n велико, а число p мало и зависит от номера испытаний, в тоже время величина постоянная, то применяется формула Пуассона.
Теорема Пуассона. Если число , а величина ≠0 постоянная, то
. (8)
9.1.7 Дискретные и непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
Определения.
15. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение, причем заранее до опыта неизвестное.
16. Величина, принимающая отдельные изолированные возможные значения, называется дискретной.
Например:
1. а) Х – число нестандартных деталей в партии из штук. Х может принимать значения: .
б) Х – число выстрелов до первого попадания в цель .
2. Биноминальное распределение
3. Распределение Пуассона
4. Геометрическое распределение
5. Гипергеометрическое распределение
17. Непрерывной случайной величиной называется величина, возможные значения которой, заполняют сплошь некоторый интервал.
Например. Х – расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия: .
9.1.8 Закон распределения дискретных случайных величин
Для полного определения случайной величины Х, кроме возможных значений Х, необходимо указать связь между возможными значениями и соответствующими вероятностями. Эта связь называется законом распределения Х и для дискретной случайной величины ее можно задать в виде ряда распределения
… | ||||
… |
где .
Можно задать также графически в виде многоугольника распределений.
9.1.9 Распределение непрерывных случайных величин
Закон распределения нельзя строить для непрерывной случайной величины. Поэтому наиболее общей формой закона распределения величины Х является функция распределения (интегральная функция). – вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта попадает левее точки .
Для дискретной величины Х .
Свойства.
1.
2.
3. - неубывающая функция
4.
В дальнейшем величину Х считаем непрерывной, если - непрерывна.
Более наглядное представление, чем , о характере распределения непрерывной величины Х в окрестностях различных точек дается функцией плотности распределения (дифференциальной функцией) .
Свойства
1.
2.
3.
4.
9.1.10 Числовые характеристики случайной величины
Числовые характеристики выражают наиболее существенные особенности данного распределения.
Определение 18. Математическим ожиданием случайной величины Х называется
а) Х – дискретная величина
б) Х – непрерывная величина
Математическое ожидание можно рассматривать, как центр рассеивания величины Х. Если проводится опытов, то приближенно равна среднему арифметическому наблюдаемых значений Х.
Основными характеристиками случайной величины Х являются также рассеивание около , называемое дисперсией, и среднее квадратическое отклонение .
Определение 19. Дисперсией случайной величины Х называется число :
а) Х – дискретная
б) Х – непрерывная величина
Кроме указанных числовых характеристик используются и другие: мода, медиана, моменты и др.
Начальные и центральные теоретические моменты.
Определение 20. Начальным моментом порядка к случайной величины Х называют маматическое ожидание величины Хк:
Аналогично для дисперсии
Определение 21. Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины :
Легко выводятся связь между и
9.1.11 Распределение непрерывных случайных величин
1. Закон равномерного распределения вероятностей.
Определение 22. Распределение называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция .
Найдем дифференциальную функцию нормального распределения, считая, что , где . Поэтому при . По свойству дифференциальной функции или или . Следовательно,
.
2. Нормальное распределение.
Определение 23. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией
.
Здесь два параметра и . Их смысл: - математическое ожидание, -средне квадратическое отклонение нормального распределения.
а)
.
б) = /дважды по частям/ = средне квадратическое отклонение.
Замечание 1). Если , то нормальное распределение называется нормированным. Дифференциальная функция его , а интегральная функция .
2). Известен интеграл Лапласа , тогда для нормального распределения.
3). Учитывая свойство , получим , т.е. .
3. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Известна формула , для нормального распределения имеем ,
преобразуем эту формулу так, чтобы пользоваться готовыми таблицами
.Из этой формулы вытекает вероятность заданного отклонения .
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 324 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!