![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определения.
2. Если в результате опыта событие
а) всегда произойдет, то - достоверное событие,
б) никогда не наступит, то - невозможные событие,
в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.
3. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.
4. События и
- совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.
5. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из этой группы, иначе – несовместна.
6. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.
9.1.2.Классическая и статистическая вероятность
Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий. Вероятность – это мера объективной возможности данного события. Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.
Определение 7. Вероятностью события
называют величину
,
где - число случаев, благоприятных появлению события
,
- общее число равновозможных в данном опыте случаев.
Слабыми сторонами классического определения являются:
1. - количество случаев конечно.
2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).
3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.
Определение 8. Относительной частотой события называют величину
,
где - число испытаний, в которых появилось события
,
- общее число испытаний.
Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших
изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.
Вероятность обладает следующими свойствами:
9.1.3 Алгебра событий
Определения.
9. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.
10. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
- хотя бы одно попадание при трех выстрелах,
- попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.
- ровно одно попадание.
- не менее двух попаданий.
11. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.
12. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.
13. Условной вероятностью называют вероятность события
, вычисленного в предположении, что событие
произошло.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место
Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то
Действительно: так как .
Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из событий равна
Следствие 2. Если события попарно несовместные, то
Действительно в этом случае
Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то
Определение 14. Противоположными называются два единственно возможных события.
Они обозначаются А и Ā.
Следствие 4. Для противоположных событий
Следствие 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности равна
(1)
где - вероятности появления событий
.
В случае, если имеют одинаковую вероятность
, то формула (1) имеет вид
, где
9.1.4 Формула полной вероятности
Задача 1. Пусть событие может наступить или не наступить с одним из несовместных событий (гипотез)
образующих полную группу. Пусть известны
и условные вероятности
. Тогда справедлива формула полной вероятности
(2)
9.1.5 Формула Бейеса
Предположим, что при условиях задачи 1 произведено испытание, в результате которого появилось событие . Как изменится вероятности гипотез в связи с появлением
.
Теорема гипотез (формула Бейеса). Вероятности гипотез после испытания равна
. (3)
9.1.6 Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа. Формула Пуассона
Если производится несколько испытаний, в результате которых может появится событие в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то эти испытания будут называться независимыми от. В этом пункте посылаем, что в одинаковых условиях производится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с постоянной вероятностью.
Тогда вероятность появления события ровно раз в испытаниях определяется формулой Бернули
(4)
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 357 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!