Примеры решения задач. Мяч бросили со скоростью V0 под углом α к горизонту

Задача 1

Мяч бросили со скоростью V₀ под углом α к горизонту. Сколько времени t мяч будет находиться в воздухе? На какую высоту h мяч поднимется? На каком расстоянии S от места бросания мяч упадет?

M Ab3LRGOGxgwuZDzXruvmlS4aMzqYoWrYWpih8PWsmIG3FIgdlF3MsEeaaOx7p48OTk4bnKiSJQ0a HdBQ1YYt0GhXHJ5v29UeNF+WwBfpu2WzAVevC6bxhRpFXd+F94W1ippE9rQpUNDRyVHRiapZ+lZA A1++53cYcvmafN8ivSSx/RnH7bdCvvkvAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAclAW698AAAAJAQAA DwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPwUrDQBCG74LvsIzgzW6S0prGbEop6qkItoL0Ns1Ok9Dsbshu k/TtHU96nPmGf74/X0+mFQP1vnFWQTyLQJAtnW5speDr8PaUgvABrcbWWVJwIw/r4v4ux0y70X7S sA+V4BDrM1RQh9BlUvqyJoN+5jqyzM6uNxh47Cupexw53LQyiaKlNNhY/lBjR9uaysv+ahS8jzhu 5vHrsLuct7fjYfHxvYtJqceHafMCItAU/o7hV5/VoWCnk7ta7UWrYL7kKkHBIuUGzFfPCS9ODNIk BVnk8n+D4gcAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAA AAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAAPGwdWQkAAF1SAAAOAAAAAAAA AAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQByUBbr3wAAAAkBAAAPAAAA AAAAAAAAAAAAALMLAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAvwwAAAAA ">

Y

X

S

O

h

Рисунок 2.5 – Чертеж к задаче 1

Решение

1) Рассмотрим перемещение тела, брошенного под углом к горизонту, в горизонтальном и вертикальном направлении.Найдем время полета мяча t. Из чертежа к задаче (рис. 2.5) видно, что координата за все время движения не изменилась, т.е.: . Следовательно, используя формулу 4.7, получим выражение для определения времени движения тела:

3) Определим, на каком расстоянии S от места бросания мяч упадет на землю. Для этого в формулу 4.4 подставим полученное выражение для времени:

4) Высоты h мяч достигнет через время . Тогда:

Задача 2

Тело, брошенное горизонтально, упало на землю через время t на расстоянии S от места бросания. С какой высоты h кинули тело? Определить начальную V₀ и конечную V скорости тела. Какой угол φ составляет траектория тела с горизонтом в точке падения?

Решение

1) Перемещение тела, брошенного горизонтально, разложим на два: горизонтальное и вертикальное (рис. 2.6).

Y

h

O

X

φ

φ

S

Рисунок 2.6 – Чертеж к задаче 2. Движение тела, брошенного горизонтально

2) Проекция начальной скорости на ось OY равна нулю, т.к. вектор начальной скорости перпендикулярен оси OY:

Начальная координата Y₁ = h, конечная координата Y₂ = 0. Следовательно:

3) Относительно оси OХ движение равномерное. Поэтому относительно оси OХ:

4) Конечную скорость находят по формуле для определения полной скорости в любой момент времени:

Тогда:

4) Из чертежа к задаче (рис. 2.6) видно, что угол φ, который составляет траектория тела с горизонтом в точке падения, будет равен:

Задача 3

По интегральной зависимости между углом поворота и угловой скоростью и между угловой скоростью и угловым ускорением получить систему уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности. Сравнить полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение.

Решение

По определению угловая скорость равна первообразной от углового ускорения: . Проинтегрируем это выражение и получим:

В момент времени угловая скорость равна – начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С₁ принимает значение начальной угловой скорости: .

Тогда получаем зависимость угловой скорости от времени:

.

По определению угол поворота равен первообразной от угловой скорости: . Проинтегрируем это выражение и получим:

В момент времени угол поворота равен – начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С₂ принимает значение начального значения угла поворота: .

Таким образом, получаем зависимость угла поворота от времени:

.

Окончательно получаем систему уравнений, описывающих равноускоренное движение по окружности:

Сравнивая полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение , можно сделать вывод об универсальности системы уравнений для любых видов равноускоренного движения. Т.е. законы, описывающие равноускоренное движение, симметричны.

ДИНАМИКА

План

Основные понятия динамики.