Математикалық және физикалық маятниктердің диференциалдық теңдеуі

Мәжбүр тербелістер. Айнымалы ток. Ом заңы. Үздіксіз өшпейтін тербеліс болу үшін кедергі күшін жеңе отырып, тербелуші денені қосымша күш арқылы қозғалысқа келтіру қажет. Себебі әсер етуші күштің нәтижесінде істелінген жұмыс кедергіні жеңуге кеткен энергия қорын толтырып отырады.Олай болса, айнымалы қосымша күш арқылы үздіксіз тербелетін тербелісті еріксіз тербеліс, ал әсер етуші күшті мәжбүр етуші күш деп атайды. Сонда бұл күштің шамасы уақытқа байланысты гармоникалық заң бойынша мына түрде жазылады: , мұндағы – мәжбүр етуші күштің амплитудасы, – оның дөңгелектік жиілігі.Әрине, бұл кезде тербелістің алғашқы кезде соғуы болады да, кейінірек амплитудасы тұрақты еріксіз тербеліс қалыптасады.Ньютонның екінші заның еріксіз тербеліс үшін былай жазуға болады: ,мұндағы – кх – қайтарушы күш, – ортаның кедергі күші. Немесе бұл теңдікті өзгертіп жазсақ, онда (11)

Бұл формула еріксіз тербелістің дифференциал теңдеуі деп аталады. Теңдеуді шешсек, онда ауытқудың уақытқа байланысын былай өрнектеуге болады: .

Еріксіз тербелістің амплитудасы (12)

алғашқы фазасы .

(12) формуладан , онда еріксіз тербелістің амплитудасы өседі. Егер b=0, яғни кедергі күш жоқ болса, болып A=max артып, шексіз өседі. Сөйтіп еріксіз тербеліс кезінде болады, амплитуданың артуы резонанс құбылысы деп аталады да, оның графигі былай кескінделеді (3-сурет).

Тұрақты токтың анықтамасы бойынша тізбектің барлық бөлігінде оның мәні өзгермейтін шама. Ал айнымалы ток тізбегінде токтың мәні әр тұста әр түрлі болуы мүмкін, себебі токтың таралу жылдамдығы жарық жылдамдығына жақын (270 000 км/с). Мысалы, жиілігі 50 Гц ток ұзындығы 30 км тізбек арқылы с ішінде тарайды, ал өзгеру периоды с, демек, . Токтың мәні барлық тұста бірдей деуге болады. Шынында да, токтың екінші ұшындағы айырмашылы не . Біз синустың жоғарғы мәнін алып отырмыз, демек,

.

Сонымен кез келген тізбек үшін шарты орындалса, онда токты квази тұрақты деп атайды. Әрине уақытқа байланысты мұнда токтың мәні косинус заңы бойынша өзгеріп отырады. Бірақ әрбір кезенде (t) тізбектің нүктелерінде оның мөлшері шамалас келеді, тізбектің барлық бөлігі үшін Ом заңын қолдануға болады. Дегенмен де айнымалы ток тізбегінде ерекшеліктер бар, себебі оның бойындағы катушкалар, конденсаторлар кедергілермен қосылып әсерін тигізіп, токтың мәнің өзгертеді. Айнымалы ток тізбегінде әр түрлі кедергілер туғызатын элементтер болсын. Мысалы, тізбекте активтік кедергімен бірге сыйымдылық , индуктивтік кедергілер бар делік. Сырттан әсер ететін айнымалы ток көзінің екі ұштағы кернеуі болсын. Осыған орай тізбекте дамитын ток та косинус заңы бойынша өзгеріп отырады, тек фазалық айырмашылық туады

Ал әрбір элементтің кедергілері R, және екендігін бұрын айтқанбыз. Элементтер бір-біріне тізбектеліп жалғанған. Сондықтан да жалпы кедергіні табу үшін, әдеттегідей, кедергілерді бір-біріне қосу керек сияқты. Бірақ айнымалы ток тізбегінде бұлай істеуге болмайды, себебі тізбекте туатын ток үшін әр элементтің әсері (кедергісі) ерекше. Мұны түсіну үшін әрбір элементте пайда болатын кернеулерді еске түсірейік. Торапқа тек активтік кедергіні қоссақ, оның бойында тогы дамиды дегенбіз. Ал оған қоса конденсатор, индуктивтік элементтері жалғанса тізбектегі ток, жалпы алғанда, фаза жағынан ығысады, осыны еске сақтап жоғарыдағы формуланы былай өрнектеген жөн:

Осыған орай әр бөлікте кернеулер төмендегідей болады. (7) формуласы бойынша

R активтік кедергіде ,

сыйымдылық кедергіде ,

индуктивтік кедергіде .

Кез келген уақыт үшін, осы шамалардың қосындысы тізбектегі толық кернеуді береді

.

+ + түрлеріне қарасақ, осы кернеулер , және мәндерінің проекцияларына ұқсайды. Осы шамаларды векторлық диаграммаға көшірейік. Ол үшін әрбір кернеудің амплитудасын тұрақты вектор деп О нүктесі арқылы бұрыштық жылдамдығымен айналдырайық. Кез келген уақыт үшін векторы бұрышын өтеді, оның проекциясы активтік кедергідегі кернеудің шамасын береді. Келесі векторының проекциясын алу үшін косинустағы бұрыш екенін еске алу керек, ол -ден -ге озады. Демек, векторы векторынан -ге озып, бірге айналады. Ал векторының проекциясын алу үшін, оның векторынан -ге қалып отыратынын ескеру керек. Сонда векторы төмен қарай сызылады. Қорытынды вектор шығу үшін жеке-жеке векторларды қосу керек екені түсінікті. Ескертетін бір жағдай және векторлары бір-біріне қарама-қарсы, ал қорытынды амплитудалық мәні . Осы шаманы векторына қоссақ шығады. Оның модулін 4-суреттегі тікбұрышты ұшбұрыштан табамыз:

,

,

. (8)

Сонымен тізбекте дамитын ток

.

Бұл формуладан толық кедергінің міндетін шамасы атқарып отыр. Кейбір жағдайда реактивтік кедергі жойылып кетуі мүмкін. Мысалы, индуктивтік кедергі сыйымдылық кедергіге теңелсе , тізбектегі токтың амплитудасы өзінің жоғарғы шекті мәніне жетеді. Мұны резонанстық құбылыс деп атайды. Сонымен резонанс болу үшін мына шарт орындалу керек: не .

Еріксіз жиілік контурдың меншікті тербелу жиілігіне тең болу керек. Осы жағдайда индуктивтік кедергі мен сыйымдылық кедергілер өзара теңеседі, бірінің әсерін бір жояды. 4-суреттегі диаграммаға қарағанда, еріксіз кернеу мен ток арасында фазалық айырмашылық бар, оның мәні мынаған тең: , ал резонанс үшін . Толық кедергі активтік кедергіге тең болады . Кез келген уақыт үшін токтың мәні , ал кедергідегі кернеу .

Нуклондар.

Ньютон сақинасы. Егер жазық шыны пластинканың үстіне жазық – дөңес линза қойылса (5 – сурет) онда олардың арасында сына пішіндес ауа қабаты пайда болады. Енді осындай системаға, перпендикуляр бағытта, монохромат жарық түссе, сонда жарық толқындары осы сына пішіндес ауа қабатының үстіңгі (С – нүктесінде) және төменгі (Д – нүктесінде) шекараларында шағылады да (1’ және 2’) өз ара интерференцияланады. Осының нәтижесінде, ортасында (В – нүктесінде сәйкес) күңгірт дақ пайда болып, оны концетрлі жарық және күңгірт шеңберлер қоршап тұрады, олар центрден қашықтаған сайын жиілей береді. Осы құбылысты бірінші рет Ньютон зерттеген, сондықтан олар Ньютон сақиналары деп аталады. Ньютон сақиналарының өлшемдері мен орынын анықтау қиын емес. (5 –ші суреттен: (1), мұндағы R – линзаның қисықтың радиусы, r – берілген қарақоныр шеңбердің радиусы. h << R, болғандықтан (2). Жолдың оптикалық айырмасы (i = 90 ) (3) h – ты орнына қойсақ (4) Енді интерференцияның әлсіреу және күшею шарттарын пайдалынып. Қара – қоныр шеңберлердің түзілу радиусы (5) ал жарық шеңберлердің түзілу радиусы (6) болады, мұндағы к = 1,2,3,....