Первое достаточное условие существования экстремума функции

Пусть точка х = является критической точкой функции, а сама функция f(х) непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку. Тогда: 1) если при х < х0 производная функции f' (х)> 0, а при х > х0, f' (х)< 0, то при х = х0 имеет место максимум, т. е. если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функ­ции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума; 2) если при х < х0 f' (х)< 0, а при х > х0, f' (х) > 0, то при х = х0 имеет место минимум; иначе: если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функции меняет знак. с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума; 3) если же при переходе через критическую точку первая производная функции не меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Найти экстремум функции

Решение. 1.Область определения функции .

2. , = 0 в точке х =2 и не существует в точке х = 1. Значит функция имеет критические точки х1 = 2, х2 = 1.

3.

Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) = -3 и в точке х = 2 минимум уmin (2) = -6.