Функция одной переменной

Если каждому значению переменной х (аргументу) из некоторого множества Х ставится в соответствие одно значение у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f (x)со множеством значений Y, где Х – область определения функции, Y – область значения функции, или у является функцией от х и записывают у = f(x). Если функция задана аналитически, то областью существования функции (иначе, областью значения функции) называется совокупность тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение определяющее функцию, принимает только действительные значения.

Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, f(x)). Графиком пользуются для геометрического изображения функций. Графики многих функций строят с помощью параллельного переноса, растяжения или сжатия основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических.

Функция у = f(x) называется четной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(x) называется нечетной, если выполняется равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: Найти область значения функции:

Решение:

.

Предел функции.

Число А называется пределом функции при х , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при . Это записывают так: . Аналогично определяется предел при х .

Функция называется бесконечно большой при х , если и бесконечно малой при х , если . Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые при х .

При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы:

- Const.

Если и существуют, то

Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения справедливо равенство

;

Const.

5. ,

Бесконечно малые и называются эквивалентными при х , если . Это записывают так:

Если при , то выполняются эквивалентности:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Предел отношений двух бесконечно малых не изменится, если заменить их эквивалентными величинами.

При вычислении пределов часто используют: