Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем

Работа № 5

Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования

Продолжительность работы – 4 часов.

Цель работы

Получение навыков расчета частотных характеристик элементарных линейных звеньев. Исследование особенностей построения частотных характеристик (вещественных, мнимых, амплитудно-частотных, фазовых) и реальных и идеальных (асимптотических) логарифмических частотных характеристик элементарных линейных звеньев, построение характеристик с применением пакета символьной математики Mathcad.

Теоретическое обоснование

При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмических координатах. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют наименьшую кривизну и могут быть приближенно заменены ломанными линиями, составленными из нескольких отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того в логарифмической системе координат легко находятся характеристики различных соединительных элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ) – частотная характеристика в логарифмическом масштабе.

L(), ДБ Октава

-1 0 1 2 lg

0,1 0,5 1 2 5 10 100

Декада

-20

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервалы частоты, заключенный между произвольным значением ω_i и его десятикратным значением 10ω_i. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

L (ω)=20lg{ W (ω)}

Ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – Белах или децибелах(дБ).

1 Бел = 10 дБ

1 Бел – единица измерения мощностей двух сигналов.

- ЛАЧХ

из передаточной функции системы заменой комплексной переменной s на может быть получена функция, называемая комплексным коэффициентом передачи системы

комплексный коэффициент передачи может быть представлен в двух видах:

,

,

где и - вещественная и мнимая частотные характеристики системы,

и - амплитудно-частотная и фазово-частотна я характеристики системы.

Связь между этими частотными характеристиками определяется формулами

Амплитудно-частотная характеристика системы является модулем комплексного коэффициента передачи , а фазовая частотная характеристика - его аргументом

В частотной области динамические свойства линейных звеньев характеризуются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками. Эти характеристики связаны с передаточной функцией соотношениями

где - комплексный коэффициент передачи,

- комплексная переменная

При анализе и синтезе систем управления используются логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ).

Функция называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). По оси абсцисс ЛАЧХ строится в десятичном масштабе частот , а по оси ординат - Единицей измерения является децибел (дБ), а единицей измерения интервала частоты - декада. Декада - интервал частоты, на котором она изменяется в десять раз.

Логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ) называется фазовая частотная характеристика , построенная в десятичном масштабе частот lg ω. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) измеряется в радианах или градусах.

Низкочастотная асимптота ЛАЧХ представляет собой предел

Высокочастотная асимптота ЛАЧХ есть предел логарифмической АЧХ

Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот.

Разность между действительной и асимптотической ЛАЧХ есть поправка

Частота , на которой сопрягаются различные асимптоты, называются частотой сопряжения.

Для ЛАЧХ, составленных из трех и более участков асимптот, существует несколько частот сопряжения ω_{с 1}, ω_{с 2}, ω_{с 3}, и т.д. Обычно частоты сопряжения нумеруются в порядке возрастания, т.е. ω_{с 1}< ω_{с 2}< ω_{с 3} < … Наибольшая разность имеет место на частоте спряжения ω_{с i}. Поэтому именно в ее окрестностях следует учитывать поправку.

Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем

- Методика построения ЛАЧХ сводится к следующим этапам:

- ЛАЧХ строится по W (s) разомкнутой части системы.

- Определить коэффициент пропорциональности системы К и 20lgК;

- Определить частоты сопряжения элементарных звеньев и определить lgwс, где wс- соответствующие частоты сопряжения;

- Расположить элементарные звенья по возрастанию частот сопряжения wс и lgwс;

- Задаться наклоном +20дБ/дек или -20дБ/дек и кратным им наклонам в масштабе координатной плоскости;

- Если передаточная функция разомкнутой части системы содержит n одинаковых звеньев, то наклон ЛАЧХ будет увеличен в n раз.

Методику построения ЛАЧХ системы можно разделить на четыре типа по особенностям системы управления:

- для статической системы;

- для астатической;

- для системы с дифференцирующим звеном;

- для системы с неявно выраженным апериодическим звеном второго порядка.

Ниже представлены частотные характеристики и асимптотические ЛАЧХ и методика их расчета для типовых звеньев.