Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, из­вестных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пере­сечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке[7] — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Доказательство:

Пусть АВС - произвольный треугольник. По первой теореме Саккери — Лежандра . Если предполо­жить, что , то по теоремам 5 из 3 окажется справедли­вым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, .

Доказательство завершено.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

Доказательство:

Пусть АВС - произвольный треугольник, a D - точка на сто­роне ВС. Простой подсчет показывает, что (рис. 220). Так как , то .

Доказательство завершено.

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника мень­ше 4d.

Доказательство:

Пусть ABCD —данный выпуклый четырехугольник. Проведем диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника АВС и ADC. Тогда

.

Но и , поэтому .

Доказательство завершено.

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Определение. Выпуклый четырехугольник называется дву-прямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые.

Если ABCD— двупрямо­угольник с прямыми углами Ли В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС— боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равны­ми боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямо­угольников.

1°. Если ABCD - четырехугольник Саккери с основанием АВ, то и каждый из углов С и D острый.

.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD < ВС, то .

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ , то AD < ВС.