Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому

1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а - произвольная прямая, а А - точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку Ли не пересекающих прямую а.

Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имьют место и в геометрии Лобачевского. В этом и в трех следующих параграфах мы познакомим читателя только с теми фактами геомет­рии Лобачевского, которые непосредственно следуют из аксиомы V*, т. е. специфичны для этой геометрии. Для простоты изложения ог­раничимся только случаем планиметрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересе­кающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две пря­мые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а. Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех вертикальных углов. Тогда, очевидно, лю­бая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри одной пары верти­кальных углов, не пересекает прямую а.

В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в гео­метрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все пря­мые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, счи­тая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется па­раллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч[6] угла QPB пересекает луч QD (рис. 213). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB\\CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что и , и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то .

Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют па­раллельные прямые по Лобачевскому. Справедлива теорема о существовании параллельных прямых.

Теорема 2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ сущест­вует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и па­раллельная прямой АВ, т. е. .

3. Пусть М — точка, не лежащая на прямой а, а MN — перпенди­куляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой а две точки А и В так, чтобы А – N - В. Из теоремы 2 следует, что через точку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА.

Заметим, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF - различные прямые. Докажем, что Ð DMN = Ð FMN. Пусть, напротив, Ð DMN ¹ Ð FMN, напри­мер Ð DMN > Ð FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лу­чу MF относительно прямой MN. Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пере­секает прямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но это проти­воречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух раз­ных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с пер­пендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относи­тельно прямой а.

Величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М до прямой а. Итак, - функция от . Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геомет­рии. Из предыдущего изложения ясно, что функция II (х) определена для каждого положительного х и что .

Н. И. Лобачевский получил аналитическое выражение этой функ­ции:

,

где k — некоторое положительное число.

Из этой формулы следует, что П(х) — монотонно убывающая не­прерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х) прини­мает все значения, лежащие между 0 и . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке от­носительно данной прямой.

Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависи­мость между угловыми и линейными величинами; в этом существен­ное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треуголь­ники с соответственно равными углами равны (см. § 74, теорема 3). Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные кон' станты угловых величин, например прямой угол или радиан, в то вре­мя как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу из­мерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произ­вольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачев­ского нет в этом необходимости, так как, имея естественную едини­цу измерения углов, можно условиться о выборе естественной еди­ницы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный .