Основные определения. Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел

Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется какой-либо физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.

Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. При этом десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.

Так, число 252,2 можно записать в виде выражения

.

Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр

основана на представлении этого числа в виде полинома

,

где . При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной и является, по существу, началом отсчета.

Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P -ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10. Для записи произвольного числа в P -ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.

Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома

.

Каждый коэффициент данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа в P -ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой:

В качестве базисных чисел обычно берутся числа от 0 до P -1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса в десятичной записи, например

12,43₈.