Теорема Бернулли

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КУРСОВЫМ РАБОТАМ

по дисциплине

«Вероятность и статистика»

Тверь, 2012

Работа выполняется с помощью пакета ECXEL по вариантам. Для того чтобы сделать свой вариант из исходных таблиц необходимо рассчитать поправочный коэффициент. Для этого умножьте 0,05 на ваш номер по списку. Затем все элементы первой строки каждой исходной таблицы умножьте на поправочный коэффициент, оставив вторую строку без изменений. В результате вы получите свой вариант задания.

Задания на выполнение работы и исходные таблицы с данными приведены в конце соответствующих разделов

Предельные теоремы

Теорема Бернулли

Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота m/n появления события A (m - число появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:

.

уточнение: будем писать

при ,

если для любого e>0 и для достаточно больших n соотношение

(1)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при .

В этом состоит теорема Бернулли. Теорема не утверждает, что соотношение (1) достоверно, однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1 (например, 0.98 или 0.999), что практически достоверно.

Задание. Проверить экспериментально на примере бросания симметричной монеты, что соотношение (1) будет выполнено при достаточно большом числе n испытаний.

Вероятность появления герба p =0.5. можно показать (с помощью центральной предельной теоремы), что, например, если n ³ ( 1.5/e ) ², то соотношение (1) выполняется с вероятностью 0.997, а если n ³ ( 1.3/e ) ², то - с вероятностью 0.99 (докажите это утверждение). Положим e = 0.1; тогда соотношение

| m / n - 0.5 | < 0.1 (a)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 170. если e=0.03, то соотношение

| m / n - 0.5 | < 0.03 (б)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 1850. Мы уверены, что, проведя 170 бросаний монеты, получим (а), а, проведя 1850 бросаний, получим (б).

Бросание монеты, будем моделировать генерацией случайной величины a, принимающей значения 1 ("герб") и 0 ("цифра") с вероятностями 1/2. Число появлений "герба" в n испытаниях

,

где a_k - результат k -го испытания.

a) генерация n значений a. Используем генератор случайных чисел пакета Ecxel (Данные-Анализ данных-Генерация случайных чисел). Генерируем случайные числа, распределенные равномерно на отрезке [0,5, 1,5].

Затем берем целую часть от случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [0,5, 1,5] используя функцию «ЦЕЛОЕ»

в) Определение числа появлений “герба” и относительной частоты f_n в серии из n испытаний. Для этого посчитываем число единиц в массиве полученном на предыдущем этапе.

Убедится, что ê f_n – 0.5 ê < 0.1 при n = 170 и ê f_n – 0.5 ê < 0.03 при n = 1850 испытаниях.

Проделать опыт 5 раз.