Примеры решения задач. Пример 1. Результат обследования 100 рабочих крупного завода, проводимого с целью определения времени

Пример 1. Результат обследования 100 рабочих крупного завода, проводимого с целью определения времени, затрачиваемого на обработку детали, приведены в таблице

время обраб.	3,6 - 4,2	4,2 – 4,8	4,8 -5,4	5,4 - 6,0	6,0 - 6,6
число рабоч.

Найти границы, в которых с надежностью 0,95 заключено среднее время обработки детали.

Решение. Для определения границ воспользуемся формулой (3.2). Для вычисления характеристик σ, к_β перейдем к серединам интервалов и таблица примет вид

xi	3,9	4,5	5,1	5,7	6,3
mi

n=100, = =

=

=24,1956 – 23,7949 = 0,4007.

=0,633.

Для определения к_β (по условию задачи β=0,95) определим

к_β =1,96 (приложение 1).

Тогда,

4,878 – 1,96· 4,878 + 1,96· ,

4,878 – 0,124 < а < 4,878 + 0,124,

4,754 < а < 5,002.

Итак, среднее время обработки детали заключено в интервале (4,75; 5,00).

Пример 2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна δ=0,2, если среднее квадратическое отклонение σ=1,6.

Решение. Точность оценки δ определяется формулой δ= .

к_β =2,24 (приложение 1).

Итак, n= =321,1264 n=322.

Пример 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi	-2
mi

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а.

Решение. Объем выборки n=10, следовательно, для интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой (3.3):

- + .

=

(приложение 2).

Тогда,

2 – 2,26· 2 + 2,26·

2 – 1,718 < а < 2 + 1,718;

0,282 < а < 3,718.

Пример 4. Проведено 14 измерений одним прибором некоторой физической величины, s=0,86. Найти точность прибора с надежностью 0,99.

Решение. γ=0,99; n=14 q=0,78 (см. приложение 3).

Тогда, согласно формуле (3.4.) получим

0,86(1 – 0,78) < σ < 0,86(1 + 0,78);

0,1892 < σ < 1,5308.

Пример 5. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки автомата произведено 400 испытаний, выигрыши появились 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий известную вероятность с надежностью 0,999.

Решение. Применим формулу (3.5), для этого найдем относительную частоту появления выигрыша ; 1 - =1 – 0,0125=0,9875.

Найдем к_β из соотношения к_β =3,3 (приложение 1).

Воспользовавшись формулой (3.5), получим

< p < ;

0,0125 – 0,0183 < p < 0,0125 + 0,0183;

-0,0058 < p < 0,0308;

0 < p < 0,0308.