Нормально распределенных совокупностей

Гипотезы о дисперсиях возникают довольно часто, так как дисперсия характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов, степень однородности совокупностей, риск, связанный с отклонением доходности активов от ожидаемого уровня.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны . Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий, т.е. Н₀: .

Для проверки гипотезы Н₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов Для оценки дисперсий используются исправленные выборочные дисперсии .

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия – отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Далее необходимо найти критическую точку F_кр(α; к₁; к₂), где α – уровень значимости, к₁=n₁ – 1, k₂=n₂ – 1(к₁ и к₂ – числа степеней свободы).

Если F_набл < F_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе ищут критическую точку F_кр(α/2; к₁; к₂).

Если F_набл < F_кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр, то нулевую гипотезу отвергают.

F_кр ищут по таблицам распределения Фишера-Снедекора (приложение 4).

Пример. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

х: 9,6; 10; 9,8; 10,2; 10,6

у: 10,4; 9,7; 10; 10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений при уровне значимости α=0,1.

Решение. Будем судить о точности методов по величинам дисперсий.

F_кр=F(0,05; 4; 3)=9,12 (приложение 4);

F_набл < F_кр, следовательно нет оснований отвергать нулевую гипотезу.