Матрицы и математические действия с ними

Определение. Матрицей называют таблицу объектов произвольной структуры, расположенных в виде строк и столбцов.

Обозначают матрицы заглавными латинскими буквами - А, В,.... Допустимо использование правых нижних и верхних индексов - А^Т, А^-1 и т.д.. Фактический вид матрицы . В этой матрице m строк и n столбцов. Строго следите за порядком - сначала строка, затем столбец! Говорят: матрица А имеет размерность m на n. Это - первая и простейшая классификация матриц. В частности матрица может быть матрицей-строкой. А также матрицей-столбцом.

Выражения a_ij - называют элементами матрицы и читают “а-и-жи”. Первый индекс - номер строки, в которой расположен данный элемент; второй индекс - номер столбца, в котором расположен этот элемент. При чтении строго называйте индексы в указанном порядке “ строка- столбец” - этим самым элемент однозначно локализуется в матрице.

По содержанию элементов матрицу тоже классифицируют: если элементы - функции, то матрица функциональная; если элементы - числа, то матрица числовая. Примером матрицы может служить платежная ведомость, понижающий или повышающий трансформатор с двумя обмотками.

Важным частным случаем является единичная матрица, обозначаемая всегда Е, имеющая вид квадратной матрицы нужной в данный момент размерности

Следующие классы матриц будут введены по необходимости позднее.

Определение. Две матрицы будем называть равными, если равны их соответствующие элементы.

Это определение указывает, что для сравнения матриц следует:

- проверить равенство конфигураций матриц (подразумевается по умолчанию - “default”);

- сопоставить между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Все сказанное символически записывают так: А=В a_ij=b_ij i,j.

Определение. Суммой матриц А и В называют матрицу С, для которой справедливо соотношение a_ij+b_ij =с_ij i,j.

Это определение указывает, что для суммирования матриц следует:

- проверить равенство конфигураций;

- суммировать между собой в матрицах все элементы, имеющие одинаковые индексы.

Определение. При умножении матрицы А на величину следует на эту величину умножить все элементы матрицы.

Символически А a_ij.

Определение. Матрицы А и В перемножают по правилу

АВ=С с_ij = .

Это определение указывает, что для умножении матриц следует:

- проверить, чтобы число столбцов первой матрицы-сомножителя было равно числу строк второй матрицы-сомножителя;

- выбрать элемент матрицы С, который нужно вычислить - с_ij;

- поэлементно перемножить строку i матрицы А на столбец j матрицы В и результаты просуммировать;

- результат занести в матрицу С на требуемое место.

При практической реализации умножения матрицу С заполняют построчно - так привычней и легче контролировать результат.

Следует отметить, что при умножении матриц не всегда справедлив переместительный закон, т.е. не всегда верно АВ=ВА.

Для дальнейшей работы с матрицами и их применению введем