Групповой принцип оснований геометрии

Наряду с евклидовой геометрией, встречается сферическая геометрия, аффинная геометрия, проективная и круговая геометрия, геометрия Лобачевского. Каждая из этих геометрий имеет своим предметом свойства фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразованиях. Эти преобразования пространства образуют соответствующую группу, так что общее основание указанных систем геометрий можно выразить так: в каждой из них изучаются свойства фигур, инвариантных относительно преобразований соответствующей группы.

В евклидовой геометрии изучаются свойства фигур, сохраняющихся при подобных преобразованиях, в сферической – при повороте сферы. Предметом аффинной геометрии составляют свойства, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, так же как и в проективной геометрии изучаются свойства, сохраняющиеся при проективных преобразованиях; в круговой геометрии – свойства, сохраняющиеся при преобразованиях, порождаемых инверсиями, включая отражения в плоскостях (как инверсия в «сферах бесконечного радиуса»). Наконец, к геометрии Лобачевского относятся те свойства фигур, которые сохраняются при наложениях в смысле этой геометрии.

Определим аффинную геометрию n измерений двумя условиями – аксиомами.

Основные объекты – точки.

Аксиомы:

1.Точки находятся во взаимно однозначном соответствии с набором чисел -их координат.

2.Аффинной геометрии принадлежат те и только те соотношения, которые сохраняются при любых преобразованиях, представляющихся в координатах как линейные, т. е. если точка переходит в точку , то

Поскольку преобразование по понятию обратимо, то эти формулы должны быть обратимы – так что определитель из коэффициентов не равен нулю. Эти преобразования образуют «аффинную группу», и предмет аффинной геометрии составляют ее инварианты.