| | Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.
Глава 30. Линейные операции над векторами
761
| | По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
1). , 2). , 3). , 4). .
| 762
| | Даны =13, =19 и =24. Вычислить .
| 763
| | Даны =11, =23 и =30. Определить .
| 764
| | Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить и .
| 765
| | Векторы и образуют угол =600, причем =5 и =8. Определить и .
| 766
| | Векторы и образуют угол =1200, причем =3 и =5. Определить и .
| 767
| | Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место следующие соотношения:
| | 767.1
| ;
| | 767.2
| ;
| | 767.3
| .
| 768
| | Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор делил пополам угол между векторами и .
| 769
| | По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
| | 769.1
| ;
| | 769.2
| ;
| | 769.3
| ;
| | 769.4
| .
| 770
| | В треугольнике АВС вектор и вектор . Построить каждый из следующих векторов. Принимая в качестве масштабной единицы , построить также векторы:
| | 770.1
| ;
| | 770.2
| ;
| | 770.3
| ;
| | 770.4
| ;
| | 770.5
| ;
| | 770.6
| .
| 771
| | Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .
| 772
| | В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , , , . Построить векторы:
| | 772.1
| ;
| | 772.2
| ;
| | 772.3
| .
| 773
| | В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , . Построить каждый из следующих векторов:
| | 773.1
| ;
| | 773.2
| ;
| | 773.3
| ;
| | 773.4
| ;
| | 773.5
| .
| 774
| | Три силы , , , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что =2Н, =10Н, =11Н.
| 775
| | Даны два вектора ={3; -2; 6}, ={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:
| | 775.1
| ;
| | 775.2
| ;
| | 775.3
| ;
| | 775.4
| ;
| | 775.5
| ;
| | 775.6
| .
| 776
| | Проверить коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
| 777
| | Определить, при каких значениях , векторы и коллинеарны.
| 778
| | Проверить, что четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.
| 779
| | Даны точки A(-1; 5; -10}, B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
| 780
| | Найти орт вектора ={6; -2; -3}.
| 781
| | Найти орт вектора ={3; 4; -12}.
| 782
| | Определить модули суммы и разности векторов ={3; -5; 8} и ={-1; 1; -4}.
| 783
| | Дано разложение вектора по базису , , : . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что =75.
| 784
| | Два вектора ={2; -3; 6} и ={-1; 2; -2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .
| 785
| | Векторы ={2; 6; -4} и ={4; 2; -2} совпадают со сторонами теругольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающими с его медианами AM, BN, CP.
| 786
| | Доказать, что если и - какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости, может быть представлен в виде . Доказать, что числа и однозначно определяются векторами , и .
| 787
| | На плоскостиданы два вектора ={2; -3}, ={1; 2}. Найи разложение вектора ={9; 4} по базису , .
| 788
| | На плоскости даны три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, ={7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других.
| 789
| | Даны три вектора ={3; -1}, ={1; -2}, ={-1; 7}. Определить разложение вектора по базису , .
| 790
| | Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС, опреедлить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающие с его медианами.
| 791
| | На плоскости даны етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить разложение векторов , , и , принимая в качестве базиса векторы и .
| 792
| | Доказать, что если , , - какие угодно некомпланарные векторы, то всякий вектор пространства может быть представлен в виде . Доказать, что числа , , однознчно определяются векторами , , , . (Представление вектора в виде называется разложением его по базису , , . Числа , , называются коэффициентами этого разложения.
| 793
| | Даны три вектора ={3; -2; 1}, ={-1; 1; -2}, ={2; 1; -3}. Найти разложение вектора ={11; -6; 5} по базису , , .
| 794
| | Даны четыре вектора ={2; 1; 0}, ={1; -2; 2}, ={2; 2; -1}, ={3; 7; -7}. Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.
|
|