|
| | Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
|
| | 689.1
|  :
|
| | 689.2
|  ;
|
| | 689.3
|  .
|
|
| | То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
|
| | 690.1
|  ;
|
| | 690.2
|  ;
|
| | 690.3
|  .
|
|
| | Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числамы разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.
|
|
| | Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде  . Доказать, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.
|
|
| | Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692:
|
| | 693.1
|  ;
|
| | 693.2
|  ;
|
| | 693.3
|  ;
|
| | 693.4
|  ;
|
| | 693.5
|  .
|
|
| | Доказать, что если уарвнение второй степени является параболическим и написано в виде , то дискриминант его левой части определяется формулой  .
|
|
| | Доказать, что параболическое уравнение при помощи преобразования  ,  , приводится к виду  , где  ,  , а  - дискриминант левой части данного уравнения.
|
|
| | Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда  . Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой  .
|
|
| | Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:
|
| | 697.1
|  ;
|
| | 697.2
|  ;
|
| | 697.3
|  ;
|
| | 697.4
|  .
|
|
| | Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда =0.
|
|
| | Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:
|
| | 699.1
|  ;
|
| | 699.2
|  ;
|
| | 699.3
|  .
|
|
| | Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:
|
| | 700.1
|  ;
|
| | 700.2
|  ;
|
| | 700.3
|  .
|
