Решение типовых задач. Пример 9.1. По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме валовой продукции необходимо определить уравнение связи

Пример 9.1. По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме валовой продукции необходимо определить уравнение связи, рассчитать параметры уравнения и определить тесноту связи. Связь предполагается линейная.

Стоимость основных производственных фондов, млн. сом.
Объем валовой продукции, млн. сом.

Решение. Принимая для этой связи уравнение прямой линии, определим его параметры на основе метода наименьших квадратов, решим следующую систему нормальных уравнений:

Расчеты указанных в системе уравнений сумм произведем в табличной форме:

Таблица 9.1

Стоимость основных производственных фондов, млн. сом х	Объем валовой продукции, млн. сом у	ху	х2	у2
					19,4 25,0 30,6 36,2 41,8 47,4 53,0 58,6 64,2 69,

Получаем следующую систему уравнений:

Отсюда, =13,8; =5,6;

=13,8+5,6х.

Следовательно, с увеличением стоимости основных производственных фондов на1 млн. сом объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. сом. Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска продукции для любого промежуточного значения стоимости основных производственных фондов), гр. 6 таб. 9.1

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений стоимости основных производственных фондов, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями стоимости основных производственных фондов должно быть равно нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно произвести подстановкой и в систему нормальных уравнений.

Тесноту связи между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции можно определить с помощью линейного коэффициента корреляции.

Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции на основании исходных данных и рассчитанных параметров из таб. 9.1.

На основании полученного результата можно сделать вывод, что зависимость между стоимостью основных производственных фондов и объемов реализованной продукции достаточно сильная.

Пример 9.2. Взаимосвязь между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, относительным уровнем затрат на реализацию продукции и стоимостью реализованной продукции характеризуется следующими данными:

Номер предприятия	Стоимость основных производственных фондов, млн. сом (х)	Уровень затрат на реализацию (в % к стоимости основных производственных фондов) (z)	Объем реализованной продукции, млн. сом (y)

Постройте линейное уравнение множественной регрессии, рассчитайте параметры уравнения. Вычислите множественный коэффициент корреляции. Сформулируйте выводы на основании приведенных расчетов.

Решение. Считая зависимость между этими показателями линейной, определим параметры уравнений регрессии .

Система нормальных уравнений для определения неизвестных параметров будет следующей:

Таблица 9.2 Расчет необходимых сумм для построения уравнения регрессии и определения тесноты связи

№ п/п/	x	z	y	x2	z2	xz	xy	yz	y2

Система уравнений примет следующий вид:

Отсюда, = - 0,0826

Следовательно.

Параметр а₁ показывает, что с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 млн. сом объем продукции увеличивается на 2,672 млн. сом. Параметр а₂ показывает, что с увеличение уровня затрат на реализацию на 1% объем продукции снижается на 0,0826 млн. сом.

Определим тесноту связи между изучаемыми признаками.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

где, парные коэффициенты можно рассчитать следующим образом:

Рассчитаем множественный коэффициент корреляции для примера 9.2.

Сначала найдем парные коэффициенты корреляции:

Множественный коэффициент корреляции равен

Пример 9.3. Исследуем связь между участием населения одного из городов в экологических акциях и уровнем его образования. Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы рабочих	Численность населения города	Из них
Участвующих в акциях	Не участвующих в акциях
Имеют среднее образование Не имеют среднего образования
Итого

Необходимо определить тесноту связи между уровнем образования и участием населения в экологических акциях.

Решение. Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции.

Коэффициенты вычисляются по формулам:

Ассоциации:

Контингенции:

Таким образом, связь между участием населения города в экологических акциях и его образовательным уровнем имеет место, но не столь существенна.

Пример 9.4. По данным одной группы однотипных предприятий о реализованной продукции (х, млн. сом) и накладных расходах по реализации этой продукции (у, тыс. сом) рассчитаем коэффициент рангов Спирмена и коэффициент знаков Фехнера.

Решение. Для расчета коэффициента рангов Спирмена необходимо проранжировать значения факторного и результативного признаков, присвоить ранг каждому значению. Определить ранг для каждого исходного значения х и у, найти разность полученных рангов, возвести их в квадрат и найти сумму. Все необходимые расчеты в таблице 9.3

Таблица 9.3

Номер предприятия	х	у	Ранжирование	Сравнение рангов	Разность рангов
х	у	ранг
Rx	Ry	Rx	Ry
	12.0 18.8 11.0 29.0 17.5 23.4 35.6 15.4 26.1 20.7		11.0 12.0 15.4 17.5 18.8 20.7 23.4 26.1 29.0 35.6						-1 -1 -1 -5
	209,5

Следовательно, связь между исследуемыми показателями умеренная.

Коэффициент знаков (коэффициент Фехнера) вычисляется на основании определения знаков отклонений вариантов двух взаимосвязанных признаков от их средних величин.

К_ф =

Сначала рассчитаем средние значения факторного признака (объем реализованной продукции) и результативного признака (накладные расходы по реализации продукции).

Затем необходимо найти отклонения х и у от их средних величин и определить совпадения и несовпадения этих отклонений.

Таблица 9.4 Данные для расчета коэффициента Фехнера

Номер предприятия	х	у			Совпадения и несовпадения
	12.0 18.8 11.0 29.0 17.5 23.4 35.6 15.4 26.1 20.7		- - - + - + + - + -	- + - + - - + + + -	A B A A A B A B A A
	209,5

В графе 6 таблицы 9.4 определены совпадения и несовпадения знаков отклонений факторных и результативных признаков от их средних величин.

В итоге получилось 7 совпадений знаков отклонений и 3 несовпадения. Подставим полученные значения в формулу:

К_ф =