Бірдей тӨленетін(тҰтынушылар несиелері) ссудаларды Өтеу

Алдыңғы қарастырылған тақырыптарда, қарызгер пайыздық ақшасымен қоса қарызын бір төлемен, несие беру келісімінде қойылған ерзім соңында, несие берушіге қайтару жағдайы келтірілген. Қарастырылып отырған тақырыпта, ссуданың қарызгерге бірден толық берілетіні, ал оны қайтару (өтеу), төлеу өлшерлері бірдей немесе арифметикалық немесе геометриялық прогрессия бойынша əртүрлі төлемен жүретін жағдайлары қарастырылады. Бір жағдайларда қарызгерге ссуданы өлшерлері бірдей төлемен өтеу пайдалы, өйткені ол қарыз ауыртпалығын ссуда берілген барлық ерзімге бірдей бөлуге үмкіншілік туғызады.Басқа жағдайларда, егер қаржыландырудың басында қаржының түсе бастаған бірінші күндерінде қарызды көп өлшерде қайтару мүмкін болмаса, онда қарызгерге ссуданы өлшерлері бірдей төлемен өтеу пайдалы болмайды.

6.1. А н ы қ т а м а. Тұтынушылық несие деп, қарыз соманы (пайыздық ақшасымен қоса) n рет бірдей өлшерде өтеу, бірдей уақыт аралығы өткен сайын жүргізілетін, p жылдық пайыздық үстемемен t (жыл) ерзімге берілген A өлшердегі ссуданы, сондай–ақ қарапайым пайыздар қарастырылған жағдайда əр өтеу төлем өлшері:

Z= (6.1)

ал күрделі пайыздар қарастырылған жағдайда əр өтеу төлемінің мөлшері:

Z= (6.2)

болған жағдайларды атайды.

6.2. А н ы қ т а м а. Уақыт аралығының бас кезінде өтейтін төлем - алдыңғы нумерандо (пренумерандо), соңында өтейтін төлем- соңғы нумерандо(постнумерандо) деп аталады.

6.1. Сатып алушы, бағасы 40500 теңге тұратын шаңсорғыш сатып алу үшін, банктен несиеге ақша сұрады. Банк сатып алушыға бір жылғы пайыздық үстемесі 12% негізінде қарапайым пайыздар схемасы бойынша есептесуге жəне ай сайын соңғы нумерандо (яғни айдың соңында) ен өтеуге1,5 жыл ерзіміне тұтынушылық несие берді. Сатып алушы ай сайын қандай соманы банкке аударуы керек?

Шешуі. Мына көрсеткіштер n=18; p=0,12; t=1,5 жəне A=40500 белгілі болғандықтан, (6.1) формуланы қолданып, табамыз:

Жауабы. Ай сайын сатып алушы банкке2655 теңге аударуы тиіс.

6.2. Сатып алушы бағасы 40 000 доллар тұратын жеңіл машина сатып алу үшін, банктен несиеге ақша сұрады. Банк сатып алушыға жылғы пайыздық үстемесі9% негізінде күрделі пайыздар схемасы бойынша есептеуге жəне ай сайын нумерандо мен өтеуге 3 жыл ерзіміне тұтынушылық несие берді.

Сатып алушы ай сайын қандай соманы банкке аударуы керек?

Z= =

Шешуі. Мына көрсеткіштер A = 40 000; n = 36; p = 0,09 жəне t = 3 белгілі болғандықтан, (11.2) формуланы қолданып, табамыз:

Жауабы. Ай сайын сатып алушы банкке1438,889 доллар аударуы тиіс.

Несие берушіге тұтынушылық несие өте қызықты болғанымен, ал қарызгерге қатысты бұл несие шектен тыс əділетсіз. Сөзсіз, ссуданы өтеу ерзімінің соңында бір төлемен қайтаратын жағдай сияқты, тұтынушылық несие жағдайында да несие беруші, сол пайыздық ақшаны қарызгерден алаалады. Бірақ, тұтынушылық несиенің ұндай ссудалардан өзгешелігі, несие берушіге қарызгер қарызын өтеуді ерте бастайды жəне несие берушіде алдын ала қайтарылған ақысыз ақшаны басқа іске қолдануына үмкіндік туады. Мысалға, басқа клиентке тұтынушылық несие бере алады. Нəтижесінде несие бергені үшін, қарызгер төлейтін пайыздық ақша сомасынан көп асатын төлемді несие беруші алаалады.

Осы ойымызды төмендегі есептерді шығарып, дəлелдейік. Басында қарапайым пайыздар схемасымен есептейтін тұтынушылық несие жағдайын қарастырайық.

Пайыздық ақшалары қосылған ссудаларды бірдей төлемдермен өтеу. Қарастырылып отырған тақырып, алдыңғы тақырыптағы сияқты, бірдей төлемдер арқылы, əртүрлі уақыт кезеңдерінде іске асырылатын, ссудаларды өтеу əдістері баяндалады. Алдыңғы тақырыпқа қарағанда тақырыптың өзгешелігі, қарызгерге қатысты біршама пайдалы іс жасалады, яғни əр кезеңде тиісті төлемдерді өтеуде оларға есептелген пайыздық ақшалары да ссудаларды өтеу есебіне кіргізіледі.

6.3. А н ы қ т а м а. Аннуитеттер деп - жыл сайын іске асырылатын төлемдерді атайды.

7 ТАҚЫРЫП. ҚАРЫЗҚАЛДЫҒЫНАБАЙЛАНЫСТЫПАЙЫЗДЫҚАҚШАЛАРЫЕСЕПТЕЛІНЕТІН, БІРДЕЙТӨЛЕМДЕРМЕНССУДАЛАРДЫӨТЕУ.

Төлемдерді өтеу үрдісін – қарызды өтеуге жауапберетін жəне пайыздық ақшаларды өтейтін депекі топқа бөлу, принциптік түрдемаңызды. Себебі, салық төлемі осы топтарға байланысты анықталады.

Қарастырылып отырған тақырып, жылдық пайыздық үстемесімен p % қарапайым немесе күрделі пайыздар схемасы бойынша берілген пайыздық ақшаларды өтеуге кететін əрбір өтеу төлемдерінің бөліктері, өтеу төлемін өткізген мезгілдегі қарыз қалдықтарының (пайыздық ақшаларды қоспағанда) p % тең, ссудаларды өтеу əдісін баяндауғ абағытталған.

Осы əдісті алдыңғы тақырыптағы 12.2 есебіне мағынасына ұқсас есепке қолдану жолын қарастырайық.

Есеп. Жылдық пайыздық үстемесі 6% негізінде күрделі пайыздар схемасы бойынша есептелінетін, 5 жылмерзімге заемге (қарызға) берілген 550 000 доллар, бірдей постнумерандо (жыл соңында) 130 568,02 доллар аннуитетпен өтеледі. Пайыздық ақшаларды өтеуге кететін, əрбір аннуитеттің бөліктері, өтеу төлемін өткізген мезгілдегі қарыз қалдықтарының (пайыздық ақшаларды қоспағанда) 6% құрайды. Заемды өтеу жоспарын құрыңыз.

Шешуі. Мынадайбелгілердіенгіземіз:

B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ – 1, 2, 3, 4, 5–ші жылдардағы пайыздық төлемдер, яғни сəйкес інше (пайыздық ақшаларды өтеуге кететін аннуитеттер бөліктері);

V₁, V₂, V₃, V₄, V₅ – 1, 2, 3, 4, 5–ші жылдардағы қары зтөлемдері, яғни сəйкес інше (қарызды өтеуге кететін, аннуитеттер бөліктері);

O₁, O₂, O₃, O₄, O₅ – аннуитеттерді енгізгеннен кейінгі 1, 2, 3, 4, 5-ші жылдардағы қарыз қалдықтары;

Əр жылдағы аннуитеттің мөлшері U = 130 568,02 доллар.

Сонымен, барлық пайыздық ақшалар сомасы: B = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅.

Қарыз үшін төленген ақшалар сомасы немесе жалпы қарыз мөлшері:

A = O = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + V₅.

Бірінші пайыздық төленген ақшаны табайық: B 1 = 550 000 ·0,06 = 33 000.

Қарызды өтеу үшін 1–ші жылдағы төленген ақша мөлшері,аннуитетпен пайыздық төлем айырымынан тұрады, яғни:

V₁ = U – B₁ = 130 568,02 – 33 000 = 97 568,02.

Сондықтан, бірінші төлемнен кейін, қарыз 97 568,02 долларға қысқарадыда: O₁ = O – V₁ = 550 000 – 97 568,02 = 452 431,98 доллар қалады.

Қалған қарыз мөлшерінен 2–ші жылы пайыздық төленген ақша мөлшері:

B ₂ = 452 431,98 · 0,06 = 27 145,92.

Қарызды өтеу үшін 2–ші жылғы төленген ақша мөлшері(аннуитетпен пайыздық төлем айырымы): V₂ = U – B 2 = 130 568,02 – 27 145,92 = 103 422,11.

Бірінші жылғы аннуитетті енгізгеннен кейінгі 2–ші жылғы қары зқалдығы:

O₂ = O₁ – V₂ = 452 431,98 – 103 422,11 = 349 009,87.

Əрі қарай жоғарыдағы келтірілген тəсіл мен мыналар дыанықтаймыз:

– 3–шіжылғы

B₃ = 349 009,87 · 0,06 = 20 940,59,

V₃ = U – B₃ = 130 568,02 – 20 940,59 = 109 627,43,

O₃ = O₂ – V₃ = 349 009,87 – 109 627,43 = 239 382,44,

– 4–шіжылғы

B₄ = 239 382,44 · 0,06 = 14 362,95,

V₄ = U – B ₄ = 130 568,02 – 14 362,95 = 116 205,08,

O₄ = O₃ – V₄ = 239 382,44 – 116 205,08 = 123 177,36,

– 5–шіжылғы B₅ = 123 177,36 · 0,06 = 7 390,64,

3.1–кесте. Займды өтеу жоспары

Жыл	Аннуитет	Қарыз қалдығы	Пайыздық төлем	Қарызды төлеу
	130 568,02	550 000	33 000	97 568,02
	130 568,02	452 431,98	27 145,92	103 422,11
	130 568,02	349 009,87	20 940,59	109 627,43
	130 568,02	239 382,44	14 362,95	116 205,08
	130 568,02	123 177,36	7390,64	123 177,36
Барлығы	652 840,10		102 840,10	550 000

V₅ = U – B₅ = 130 568,02 – 7 390,64 = 123 177,36.

Егер 4–ші жылы қалған қарыздан ақырғы төлемді алып

тастасақ, онда қарыздың толығымен төленгенін көреміз:

O₅ = O₄ – V₅ = 123 177,36 – 123 177,36 = 0.

Жауабы. Зайымды өтеу жоспарын 3.1–кестемен келтірейік.

8 ТАҚЫРЫП. ҚАРЫЗ ҚАЛДЫҒЫНА БАЙЛАНЫСТЫ ПАЙЫЗДЫҚ АҚШАЛАРЫ ӨТЕЛЕТІН, ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОГРЕССИЯ ЗАҢДЫЛЫҒЫМЕН ӨЗГЕРЕТІН ТӨЛЕМДЕР МЕН ССУДАЛАРДЫ ӨТЕУ.

ЕСЕП. Заемге берілген 550 000 доллар постнумерандо аннуитеті мен 5 жыл бойы өтеледі. Бір жылдан бі ржылға өткен сайын қарыз төлемі:

а) 5 % өседі; б) 5 % кемиді.

Жылдық күрделі пайыздық үстеме 10 %. Пайыздық ақшалар жəне аннуитеттер есепке кірмейді. Əрбір көрсетілгенжағдайғазаемдыөтеужоспарынқұрыңыз.

Шешуі. Есептің шарты бойынша мына көрсеткіштер

A =550 000 n = t = 5; p = 0,1жəнеа) q = 100% + 5% =105% немесе үлес бойынша q = 1,05 (геометриялық прогрессияның бөлімі) белгілі.

Барлық қарыз төлемі (заемге берілген ақша сомасы) барлық геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысы. Геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындының формуласын қолданып,оның бірінші мүшесін табайық:

Алынған формуладағы V₁ геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі, ол қарыздық айтарудағы бірінші төлем мөлшерін көрсетеді, яғни:

1–ші жылдың соңында қалғанқарыз:

O₁ = A – V₁ = 550 000 – 99 536,16 = 450 463,84.

Бірінші пайыздық төлем: B₁ = 550 000 · 0,1 = 55 000.

Бірінші аннуитет: U₁ = V₁ + B₁ = 99 536,16 + 55 000 = 154 536,16.

Екінші төлем: V₂ = qV₂ = 1,05·99 536,16 = 104 512,96.

2–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₂ = O₁ – V₂ = 450 463,84 – 104 512,96 = 345 950,88.

Екінші пайыздық төлем: B₂ = p·O₁ = 0,1 · 450 463,84 = 45 046,38.

Екінші аннуитет: U₂ = V₂ + B₂ = 104 512,96 + 45 046,38 = 149 559,34.

Үшінші төлем: V₃ = qV2 = 1,05·104 512,96 = 109 738,6.

3–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₃ = O₂ – V₃ = 345 950,88 – 109 738,6 = 236 212,28.

Үшінші пайыздық төлем: B₃ = p·O₂ = 0,1 · 345 950,88 = 34 595,09.

Үшінші аннуитет: U₃ = V₃ + B₃ = 109 738,6 + 34 595,09 = 144 333,69.

Төртінші төлем: V₄ = qV₃ = 1,05· 109 738,6 = 115 225,53.

4–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₄ = O₃ – V₄ = 236 212,28 – 115 225,53 = 120 986,75.

Төртінші пайыздық төлем: B₄ = p·O₃ = 0,1 · 236 212,28 = 23 621,23.

Төртінші аннуитет: U₄ = V₄ + B₄ = 115 225,53 + 23 621,23 = 138 846,76.

Бесінші төлем: V₅ = qV₄ = 1,05 · 115 225,53 = 120 986,75.

5–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₅ = O₄ – V₅ = 120 986,75 – 120 986,75 = 0,00.

Бесінші пайыздық төлем: B₅ = p·O₄ = 0,1 · 120 986,75 = 12 098,68.

Бесінші аннуитет: U₅ = V₅ + B₅ = 120 986,8 + 12 098,68 = 133 085,48.

Есептелінгенкөрсеткіштерді 3.5–кестегежазып, а) жағдай-

дағызаемдыөтеужоспарынқұрамыз.

3.5–кесте.а) жағдайында заемды өтеу жоспары

Жыл	Аннуитет	Пайызтөлемі	Қарыздытөлеу	Қарызқалдығы
	154 536,16	55 000,00	99 536,16	550 000,00
	149 559,34	45 046,38	104 512,96	450 463,84
	144 333,69	34 595,09	109 738,60	345 950,88
	138 846,76	23 621,23	115 225,53	236 212,28
	133 085,48	12 098,68	120 986,75	120 986,75
Барлығы	720 361,43	170 361,38	550 000,00

б) бұл жағдайда а) жағдайға қарағанда геометриялық прогрессияның бөлімітең: q= 1–0,05= 0,95, осыданбірінші V₁ төлеммөлшерінесептейміз:

1–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₁ = A – V₁ = 550 000 – 121 563,49 = 428 436,51.

Бірінші пайыздық төлем: B₁ = 550 000 · 0,1 = 55 000.

Бірінші аннуитет: U₁ = V₁ + B₁ = 121 563,49 + 55 000 = 176 563,49.

Екінші төлем: V₂ = qV₁ = 0,95·121 563,49 = 115 485,43.

2–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₂ = O₁ – V₂ = 428 436,51 – 115 485,43= 312 951,08.

Екінші пайыздық төлем: B₂ = p·O₁ = 0,1 · 428 436,51 = 42 843,65.

Екінші аннуитет: U ₂ = V₂ + B₂ = 115 485,43 + 42 843,65 = 158 329,08.

Үшінші төлем: V₃ = qV₂ = 0,95·115 485,43 = 109 711,16.

3–ші жылдың соңында қалған қарыз:

O₃ = O₂ – V₃ = 312 951,08 – 109 711,16 = 203 239,92.

Үшіншіпайыздықтөлем:

B₃ = p·O₂ = 0,1 · 312 950,08 = 31 295,00.

Үшінші аннуитет: U₃ = V₃ + B₃ = 109 711,16 + 31 295,00 = 141 006,16.

Төртіншітөлем:

V₄ = qV₃ = 0,95· 109 711,16 = 104 225,60.

4–шіжылдыңсоңындақалғанқарыз:

O₄ = O₃ – V₄ = 203 239,92 – 104 225,60 = 99 014,32.

Төртіншіпайыздықтөлем:

B₄ = p·O₃ = 0,1 · 203 239,92 = 20 323,99.

Төртіншіаннуитет:

U₄ = V₄ + B₄ = 104 225,6 + 20 323,99 = 124 549,59.

Бесіншітөлем:

V₅ = qV₄ = 0,95 · 104 225,60 = 99 014,32.

5–шіжылдыңсоңындақалғанқарыз:

O₅ = O₄ – V₅ = 104 225,60 – 104 225,60 = 0,00.

Бесіншіпайыздықтөлем:

B₅ = p·O₄ = 0,1 · 120 986,75 = 12 098,68.

Бесіншіаннуитет:

U₅ = V₅ + B₅ = 120 986,8 + 12 098,68 = 133 085,48.

Есеп телінген көрсеткіштерді 3.6–кестегежазып, б) жағдайдағы заемды өтеу жоспарын тұрғызамыз.

3.6–кесте.б) жағдайында заемды өтеу жоспары

Жыл	Аннуитет	Пайыздықтөлем	Қарызды төлеу	Қарыз қалдығы
	176 563,49	55 000,00	121 563,62	550 000,00
	158 329,08	42 843,65	115 485,43	428 436,51
	141 006,16	31 295,00	109 711,16	312 951,08
	124 549,59	201323,99	104 225,60	203 239,92
	133 085,48	12 098,68	99 014,32	99014,32
Барлығы	733 533,80	342 561,32	550 000,13	0,00

Жауабы. Есепте қарастырылып отырған жағдайлардағы заемды өтеу

жоспарлары есептеу нəтижесінде, сəйкесінше 3.5 жəне 3.6–кестелерде

құрылып, келтірілген.

9 ТАҚЫРЫП. ҚАРЖЫЛЫҚ АҒЫМДАР МОДЕЛЬДЕРІ.

А н ы қ т а м а. Қаржылық рента деп бірдей уақытаралықтары өткен сайын іске асырылатын төлемдер тіркесінатайды.

А н ы қ т а м а. Тұрақты қаржылық рента деп бірдейуақыт аралығында бірдей төлемдер өтелетін жағдайды атайды, алкерісінше жағдайда айнымалы қаржылық рента деп атайды.

А н ы қ т а м а. Егер төлемдер саны шектеулі болса, ондақаржылық рента шекті деп, ал керісінше жағдайда оны шексіз депатайды.

Қаржылық ренталар күнделікті өмірде жиі кездеседі.Қаржылық рентаның қарапайым мысалы ретінде жалақыны алуғаболады. Жалақыны бастық уақытылы төлеп тұрса, онда ол тұрақтыкаржылық рента болатыны, сөзсіз. Қаржылық ренталарға зейнетақыларды, тұтынушылық несиелерді өтеу үшін жасалатынтөлемдерді, жалға алынған жəне жалданған келісімдер бойыншажасалған төлемдерді, əртүрлі қаржылық төлемдерді жəне т.б.жатқызуға болады. Ереже бойынша, ренталық сомаларпайдаланылса, пайыздық ақшалар есептелінеді.

Бірінші кезекте қарапайым пайыздарды санаудықарастырайық.

3.13. Салымшы, 2008 жылдың 1–ші қаңтарынан бастап, əрбірайдың бірінші күнінде, банкке өзінің шотына 2000 доллар салады.Есеп, 6% жылдық үстемемен, пайыздық ақшалар ай сайынсаналып, қарапайым пайыздар схемасы бойынша жүргізіле-ді. Біржыл 30 күндерден тұратын 12 айлардан құралған деп есептелінеді.Салымшы шотында 2017 жылдың 31 желтоқсанында қандай сомаболады?

Шешуі. Шотқа салынған ақшаның бірінші сомасына, 120айлар бойы пайыздық ақшалар есептелінеді, ол ай сайын 6% / 12=0,5% артады.Сондықтан 2017 жылдың 31 желтоқсанына дейінбірінші сома 2000 доллар мына сомаға жетеді: C₁ = 2000·(1 + 0,005·120) = 3200.

Шотқа түскен екінші сомаға, пайыздық ақшалар 119 айларбойы саналады да, ол 2017 жылдың 31 желтоқсанында мына сомағажетеді:

C 2 = 2000·(1 + 0,005·119) = 3190.

Шотқа түскен үшінші сома: C 3 = 2000·(1 + 0,005·118) = 3180 жəне т.б.с.с.

Сонымен, ақырында біз кемімелі C 1, C 2, …, C 120, біріншімүшесі C 1=3200, ал айырымы (–10) тең арифметикалық прогрессияаламыз. Арифметикалық прогрессияның соңғы мүшесі: C₁₂₀ = 2000·(1 + 0,005) = 2010.

Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысы:

Жауабы. 2017 жылы 31 желтоқсанда шотта 312 600 доллар болады.

Қаржылық рента жəне төлемдер ағымы. Қаржылық ағымдар адамның кез келген іс–əрекетініңқұрамдарына жататын жəне бөлінбейтін бір бөлігі. Саудада олартауарлар қозғалысының табыс көзін құрайды. Адамдардың

мұқтаждығын қанағаттандыратын, экономикалық, қаржылық,өндірістік жəне басқа да орталарда мұндай ағымдар қызығушылықтудырады жəне осындай ортаның болуы маңызды екенінтүсіндіреді. Мұндай ағымдарға, келісілген шарт бойыншатөлемдерді бірден өтеу немесе бөліп–бөліп əртүрлі уақыт

аралықтарында төлеу, банктік қарыздарды немесе коммерциялықнесиелерді бөліктерге бөліп өтеу жəне т.б.с.с. əрекеттердіжатқызады. Бұл кезде бірінен кейін бірі тіркескен қатар төлемдері,бір–бірімен шамалары бірдей, бүтін бір ағым төлемдері пайдаболады.

Ағым – бір бағытта бірінен кейін бірін төлеу үрдісі. Оңтаңбалы төлемдер ақшаның түскенін, ал теріс таңбалы төлемдерақшаның төленгенін көрсетеді. Ағым бірнеше ағым мүшелерінен тұрады.

Қайталану реттеріне байланысты ағымдар жүйелі немесе жүйесіз болып екіге бөлінеді.

Барлық мүшелері оң таңбалы жəне олар бірдей уақытаралығында келіп түсетін болса, мұндай ағым қаржылық рента деп аталатыны (3.4-анықтама) жоғарыда келтірілді. Кейде мұндайқаржылық ағым аннуитет деп те аталады. Қаржылық рентасипатталады:

– R j –рента мүшелерімен (жеке төлемдердің мөлшерімен);

– t _i - рента аралықтарымен (бір–бірінен кейін төленетін екіnтөлемнің уақыт аралығы);

– t –рента мерзімімен (бірінші төлемнен бастап, соңғытөлемге дейінгі уақыт аралығы);

– пайыздық үстемемен (ұлғайтуды есептеу немесетөлемдерді дисконттау);

– соңғы төлем күнмен бірге пайыздарымен қоса барлық ағымnтөлем мүшелері, рентаның ұлғайтылған келешектегіnсомасы;

– ағым төлемдерінің барлық мүшелерінің қосындысы қазіргіm(келтірілген) рента шамасы, рентаны бастапқы уақытmмезгіліне дисконттау, яғни есептік үстеме шамасынаnкішірейту.

Ренталар – жыл бойы төленген рента мүшелерінің санынаnайланысты: жылдықтар жəне h – тез аралықтар (жылына h рет); пайыздарды капитализациялау типтері бойынша есептепқосатындар: жыл сайын, жылына m рет жəне үздіксіз (Ескерту: Пайыздарды есептеп қосу мезгілі рента бойынша төлеу мезгілімендəл келмеуі мүмкін); рента мүшелерінің шамалары бойынша: тұрақты жəне айнымалы; төлем сенімділігіне байланысты: дұрыстар жəне жуықтар; мүшелерінің саны бойынша:мерзімімен шектеулі, соңғы санды жəне мəңгілік, шексіз санды;рентаның іске кірісуінің басталу мерзіміне жəне кенет қандай даболмасын бір өзгерістің пайда болуына байланысты: жеделдер жəне қалдыра тұрғандар болып, бірнеше түрге бөлінеді.

Əрбіржылдыңаяғында (постнумерандо) күрделіпайыздықүстемебойыншаесептеліп, төлемгеқосылғанпайыздарыменқоса,жылсайынғытөлемағымдарыныңмоделінқарастырайық.

Барлық мерзімге ұлғайту пайыздарымен қоса бірінші төлемсомасын мына теңдеумен анықтаймыз:

Онда барлық ұлғайтылған рента сомасы үшін аламыз:

Формуладан, қарастырылыпотырғанкоэффициентгеометриялықпрогрессиямүшелерініңқосындысыекенінбайқауғаболады. Оныңбіріншімүшесі b 1 =1, бөлімі q =(1+ p c) >1.

Осынегізде, геометриялықпрогрессиямүшелерініңқосындыларының

формуласынқолданып, барлықұлғайтылғанренталарсомасынмынатүргекелтіреміз:

Осыалынғанөрнектітұрақтыпостнумерандо (төлемжылдың

соңында) ренталардыңұлғайтусомасыдепатайды, оданұлғайту

коэффициентінмынаөрнекпенанықтауғаболатындығыбайқалады:

10 ТАҚЫРЫП. ҚАРЫЗДАРДЫ САТЫП АЛУ СХЕМАСЫ