Күрделі пайыздар схемасы бойынша қаржылықəрекеттерді дамыту модельдері

Егер пайыздық ақша B (несиеге берген капиталдан түскентабыс) алғашқы несиеге берген капиталға (ақшаға) A қосылып,келесі кезекте сол барлық толтырылған (A+B) сомадан пайыздықақша есептелінсе, онда қаржылық əрекеттерде күрделі пайыздарсхемасы қолданылады. Кейде осы нұсқаны капитализациялаунемесе реинвестирлеу (алғашқы инвестірленген ақша мөлшерінкөбейту) немесе «пайыздан пайызға» деп аталынады.

А н ы қ т а м а. Егер несиелік келісімде жылдықпайыздық үстеме негізінде күрделі пайыздар схемасы бойыншаесептеу қарастырылса, онда несие беруші жыл сайын несиегеберген ақшасы үшін, келесі жылдың басталуына дейін барлық(пайыздық ақшамен қоса) жиналған қарыз соманың P пайыздарын құрайтын пайыздық ақшаларын алады.

Қарапайым пайыздардағы сияқты, бастапқы кезде күрделі пайыздар схемасы бойынша есептелген несие бүтін санды t = 1,2,..., n жылдарға берілген жəне қарызгердің t =1,2,..., n сəйкес жылдарыбойы несиелерді пайдаланғаны үшін қайтаратын сомаларды C1, C2,… Cn деп белгілеген жағдайды қарастырайық. Анықтама бойынша:

C1 = A( 1+ p),C2 = A( 1 + p)2 = C1( 1+ p),

… … … … … …

C n = A( 1 + p)n = C n –1( 1+ p), осыдан барып, мынадай салдар туындайды.

(Мұндайəрекеттіқаржылықұғымдапайыздықақшасыменбіргеалғашқысома реинвестирленді делінеді, яғниа лғашқы салым пайыздық ақшаға көбейдін емесе алғашқы инвестицияның мөлшерін көбейтсек, осы əрекетіміз реинвестирлендіру депаталады). Осыдан

кейінекіншіжылыклиенттіңшотында A( 1 + p)2 сомапайдаболады,үшіншіжылы – A( 1 + p)3 жəне əріқарайжалғасабереді.

Сөйтіп, реинвестирлендіру (капитализация) жасағансайындепозиттегісомакүрделіпайыздарсхемасыбойыншагеометриялықпрогрессиязаңдылығыменүстемеленебереді.Осығанбайланысты, депозиттікшоттанмөлшерібірдейақшаны,біресешығарыпалып, оданоғанқайтасалып, клиенттіңөмірінжəнебанктіңжұмысынқиындатпауүшіндепозиттегіақшаныүстемелеудікүрделіпайыздарсхемасыбойыншаесептеуенгізілді.

4 ТАҚЫРЫП. КЕПІЛДІКПЕН ҚАМТАМАСЫЗДАНДЫРЫЛҒАН ССУДАЛАР(ЛОМБАРДТЫҚ НЕСИЕЛЕР).

Ломбардтық несие алу үшін қарызгер несие берушігеатериалдық құндылық құрайтын заттың немесе объектінің тиісті құжатын немесе құнды қағазды кепілдік ретінде өткізуге індетті.Кепілдік құндылықты алғаннан кейін, несие беруші оның ағымдағы нарықтық құнын бағалайды да, несиелік келісім шартта,41 қарызгердің несие берушіге қайтаратын қарыз сомасы (пайыздық ақшалар жəне несие берушінің қарызға қызмет жасаудағышығындарымен қоса), кепілдікке берілген құндылықтыңбағасының (50 – 80)% аспайтыны туралы тұжырымдап, есептікүстеме негізінде қарызгерге қарапайым пайыздар схемасы бойыншассуда береді.

Ломбардтық несие жалпы3 ай ерзімге беріледі, ал оны өтеукелесі нұсқалардың біреуімен жүргізіледі:

1) қарызгер барлық қарызды уақытында өтейді;

2) қарызгер қарызды өтеу ерзімін келесі3 айға созады;

3) қарызгер уақытында барлық қарыздың тек бір бөлігін төлейді де, ал қалған бөлігін өтеуді келесі 3 ай бойына созуы мүмкін.

Пайыздық ақшаларды төлегенде əр айдағы нақтылы күндер есептелінеді де, ал жыл 360 күндермен теңестіріледі. Ломбардтық несиені берген жəне өтеген күндер бір күн деп есептелінеді.

Қарызгердің келіскен ерзімде несие берушімен толық есептесуге үмкіншілігі болмаған (немесе есептескісі жоқ)жағдайда, қабылданған заң бойынша несие беруші кепілдікке алынған құнды затты өз үддесіне жұмсай алады.

Əр бір мезгілде төленген ақшалар сомасын салыстыру

Əрезгілдетөленгенақшаларсомасынсалыстырутəсілінбаяндауғаөтпесбұрын,

1. Бекітпе. Жылдық пайыздық үстемеp негізінде қарапайым пайыздар схемасы бойынша есептеу:

а) егербанккедепозиттікшотқаAсоманықазірсалсақ, ондаtуақыт(жыл) өткенненкейіншоттаынадайсомапайдаболады:

C = A(1+ pt);

б)депозиттік шотта t уақыт (жыл) өткеннен кейін C сома пайда болу үшін қазір шотқа мынадай сома салу керек: A =

Баяндалған1- бекітпеарқылыанықтамаенгізейік.

Анықтама. t₁ және (t_{1 >}t₂)уақыттарғасəйкесS_1, S₂ сомасындайтөленгенақшалар, егердепозиттікшотқасалынғанS₁ сомаt =t₂– t₁ уаққыт өткеннен кейін S₂ сомаға айналса,қарапайым пайыздық үстемеp бойынша эквивалентті (баламалы)

депаталады.Қарапайым пайыздық үстемеp бойынша 1. Бекітпеге сəйкес S₁ жəне S₂ ақша сомалары қашанынадай жағдай: S= S₁ (1+ p(t₂– t₁)) (4.30)

тексондағанаэквивалентті.

Бекітпе. Жылдық есептік үстеме eнегізінде қарапайым пайыздар схемасы бойынша есептеу:

а) егер банке депозиттік шотқа A соманы қазір салсақ, онда t уақыт(жыл) өткеннен кейін шотта мынадай сома пайда болады: C=

б)депозиттік шотта t уақыт (жыл) өткеннен кейін C сома пайда болу үшін қазір шотқа мынадай сома салу керек: C = A(1– et).

Баяндалған 3-бекітпе арқылы анықтама енгізейік.

Анықтама. Бекітпе. Жылдық есептік үстеме eнегізіндек үрделі пайыздар схемасы бойынша есептеу:

а) егер банке депозиттік шотқа A соманы қазір салсақ, онда t уақыт(жыл) өткеннен кейін шотта мынадай сома пайда болады: A=

б) депозиттікшоттаtуақыт (жыл) өткенненкейінCсомапайдаболуүшінқазіршотқаынадайсомасалукерек:

C = A(1– e)^t

Баяндалған4-бекітпеарқылыанықтамаенгізейік.

Əртүрліуақыттармезгіліндетөленгенақшаларсомасынсалыстыруғаөтейік. Осыақсаттақажеттіпринциптертуралыойымыздытұжырымдайық.Ақшаларсомасынсалыстырупринципі. Қарапайымпайыздықүстеме, күрделіпайыздықүстеме, қарапайымесептікүстеме,күрделіесептікүстемебойыншаt₁уақытезгіліндетөленгенAсоманыt₂ уақыт езгілінде төленген B сомамен салыстыру үшінөздерінесəйкесt₁ уақыт езгілінде A соманы B сомаға эквиваленттісомаменнемесеt₂ уақытезгіліндеBсоманыAсомағаэквиваленттісомаменсалыстырукерек.

Қарапайым пайыздық үстеме 6%. Қандай сома көп:$2000 соманы қазір (t₁= 0) төлеген бе немесе $2500 соманы (t₂=0,5) жылдан кейін төлеген бе?

Шешуі. $2500 соманы (t₂= 0,5) жылдан кейін төлеген $2000соманың эквивалентті сомасымен салыстырамыз. Ол үшін $2000соманы S₁ белгілеп, (2.30) формула арқылы қарапайым пайыздықүстеме0,06 бойынша осы сомаға эквивалентті S₂ соманы табамыз

S₂= S₁(1+ p)^(t_1-t₂) = 2000(1 + 0,06·0,5) = 2060 < 2500.

Жауабы.(t₂= 0,5) жылдан кейін төлеген$2500 сома көп.

Е с к е р т п е. $2000 соманы $2500 сомамен (t₁= 0) уақытмезгілінде салыстырып, есепті басқаша шығаруға болады.

4.13. Күрделі пайыздық үстеме 6%. Қандай сома көп: $2000 соманы қазір (t₂= 0) төлеген бе немесе $2030 соманы (t₂= 0,5)жылдан кейін төлеген бе?

Шешуі. $2500 соманы (t₂= 0,5) жылдан кейін төлеген $2000соманың эквивалентті сомасымен салыстырамыз. Ол үшін $2000соманы S₁ белгілеп, (2.31) формула арқылы күрделі пайыздықүстеме0,06 бойынша осы сомаға эквивалентті S₂ соманы табамыз.

Жауабы. Қазір(t₂= 0) төлеген$2000 сома көп.

5 ТАҚЫРЫП. ПАЙЫЗДЫҚ ҮСТЕМЕ НЕГІЗІНДЕ ҮЗДІКСІЗ ПАЙЫЗДАР СХЕМАСЫ БОЙЫНША ССУДА БЕРУ.

Мынадай жағдайларда үздіксіз пайыздар деген ұғымы қолданылады: қарапайым пайыздарды жылдық пайыздық үстемегеp арттыру келісімімен, клиент банкпен A соманы депозиттік шотқа, жылдың 1/m – бөлігіне тең ерзімге дейін салуға шарт жасасты делік. Осы ерзім өткеннен кейін (2.12) формула бойыншадепозиттік шотта- рынадай сома пайда болады:

С = A(1+ ) (5.1)

оны клиент шоттан алады да, сол шотқа қайта салады (пайызбенқоса соманы реинвестрлейді). Нəтижесінде, жылдың«екінші» 1/m– бөлігі өткеннен кейін депозиттік шотта ынадай сома пайда болады:

С = A(1+ )² (5.2)

оны клиент ерзімі өткеннен кейін тағы да шоттан алады да, сол шотқа қайта салады. Осы процедура бір жыл бойы m–рет қайталанады да, клиенттің депозиттік шотында ынадай сома пайда болады:

С = A(1+ )^m (5.3)

Мынадай m= 12 жағдайда пайыздық ақшаны реинвестрлеу ай сайын, m= 365 күн сайын, m= 365·24 = 8760 сағат сайын жүреді. Минут сайын, секунд сайын жəне шексіз жағдайда m ∞ →пайыздарды үздіксіз реинвестрлеуді теориялық тұрғыда қарастыруға болады. Сондықтан, егер (2.35) формулада шектеугеөтсек, онда ына жағдайда m ∞ → төмендегідей қатынас алынады:

C = (5.4)

ол депозит ерзімі 1 жылға тең болған жағдайдағы, жылдық пайыздық үстеме p негізінде пайыздарды үздіксіз арттыру формуласын көрсетеді. Депозит ерзімі t жылға тең болған жағдайдағы, жылдық пайыздық үстеме p негізінде пайыздарды үздіксіз арттыру формуласының түрі:

C=Ae^pt (5.5)

Е с к е р т п е. (5.4) жəне (5.5) формулалардағы e натуралдық логарифм негізі. Пайыздарды үздіксіз арттыру формуласын, дифференциалдық теңдеулерді қолданып, басқаша тəсілдермен алуға болады. Осы ақсатпен келесі ысалды қарастырайық.

5.1 Банктегі салымның өсу жылдамдығы салым өлшеміне пропорционалды өзгереді, пропорционалдық коэффициенті 0,03. Егер салымның алғашқы сомасы10000 (ақша бірлігі) болса, салым уақыт бойынша қандай заңдылықпен өзгереді жəне шотта2 жылдан

кейін қандай сома болады?

Шешуі. t уақыт езгілінде салым өлшемі ынадай A=A(t) болсын. Алғашқы салым сомасы10000, ал уақыт бойынша салым туындысы , салым өсуінің жылдамдығы болғандықтан, салымның уақыт бойынша өзгеру заңдылығы мына диффренциалдық теңдеуді шешумен анықталады:

=0,03A (5.6)

Оның бастапқы шарты:

A(t=0)=10000. (5.7)

Дифференциалдық теңдеулер курсынан белгілі, (5.6) жəне (5.7) қатынастар Коши есебін шешуге сəйкес, яғни оны мына түрде жазуға болады:

А(t) = 10000e^0.03t

сөйтіп, 2 жылдан кейін шотта ынадай сома болады:

. А(t) = 10000e^0.03*2 = 10000e^0.06 =10000*1.06=10600

Жауабы. Салымның уақыт бойынша өзгеру заңдылығының түрі:

А(t) = 10000e^0.03t, ал 2 жылдан кейін шоттағы сома: 10600 ақша бірлігіне тең.

Ссудалардың нығаюы. Несие беруші бірдей бір уақытта қаржыгерге жылдық пайыздық үстемесін p_1,p_{2 …} p_n, қарапайым пайыздар схемасымен,t₁,t₂ , …, tn мерзімге, A₁,A₂ …, An өлшемді n ссудалар берді делік. Қаржыгер барлық қарызын бірден төлемекші, ссудаларын нығайтпақшы. Қаржыгер де, несие беруші де шығынға ұшырамауы үшін, қаржыгер қанша уақытта барлық қарызын бірден төлей алады? Барлық ссудаларды жылдық пайыздық үстемесі p қарапайым пайыздар схемасымен t ерзімге (жыл) берілген бірA ссудаға айырбастауға болатыны үмкін болсын. t ерзімі ссудаларды нығайту ерзімі деп аталады. Нығайту төлемін төлеп біткеннен кейін, A, p жəне t мəндерін табу үшін қарызгердің ынадай істер жасау керектігін аңғарамыз:

1) барлық қарыздар сомасын өтеу;

2) əр ссудаларды қолданғаны үшін пайыздық ақшаларын өтеу.

Сонымен, екі қатынас орындалуға тиіс:

A1+ A2 + …+ An =A, (5.8)

A₁ p ₁ t₁ + A₂ p ₂ t₂ +…+ A_n p _n t_n= Apt (5.9)

Егер (5.8) формуладан (5.9) формулағатеңдеуінқойсақ, ондаынақатынасалынады:

A₁ p ₁ t₁ + A₂ p ₂ t₂ +…+ A_n p _n t_n=(A1+ A2 + …+ An)pt (5.10)

осыданбарып, жалпыссуданыңнығайтуерзімінтабамыз:

A= (5.11)

(5.11) формуланықолданыпекіқарапайымжағдайдықарастырайық.

1. Ж а ғ д а й. Барлық ссудалар A бірдей өлшерде жəне олар

бірдей пайыздық үстемелермен p берілген. Онда, (5.11) формуладан ынадай қатынас туады:

t= (5.12)

2. Ж а ғ д а й. Барлық ссудалар əртүрлі өлшерде жəне əртүрлі мерзімге, сонымен қатар бірдей пайыздық үстемелермен p берілген. Мұндай жағдайда, (5.11) формуладан мынадай қатынас туады:

t= (5.13)

6 ТАҚЫРЫП. ССУДАЛАРДЫ ӨТЕУ СХЕМАСЫ