Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного розв’язання звичайних диференційних рівнянь

6.1 Основні відомості

Диференціальне рівняння (ДР) - це рівняння, що містить невідомі функції, незалежні змінні і похідні невідомих функцій.

Розв’язати ДР - значить знайти невідомі функції.

Залежно від числа незалежних змінних ДР діляться на дві категорії:

- звичайні диференціальні рівняння (ЗДР), що містять одну незалежну змінну;

- рівняння у частних похідних, що містять кілька незалежних змінних.

У даній роботі будуть розглядатися тільки ЗДР.

Загальний вигляд ЗДР:

,

де х - незалежна змінна, у - невідома функція, - похідні невідомої функції.

Загальне рішення ЗДР має вигляд:

.

Частне рішення ЗДР виходить із загального, якщо довільним постійним надати певні значення. Щоб отримати частне рішення, необхідно задати додаткові умови. ДР разом з додатковими умовами називається завданням. Існує два типи додаткових умов і, відповідно, два типи завдань:

1) початкові умови (якщо х - час):

, , …, .

Завдання вирішення ЗДР з початковими умовами називається задачею Коші.

2) граничні (крайові) умови (якщо х - деяка координата, що змінюється від a до b):

, , …, ;

, , …, .

Задача розв’язання ЗДР з граничними умовами називається крайовою задачею.

У даній роботі буде розглядатися задача Коші.

Результатом рішення задачі Коші чисельними методами є таблиця значень функції в окремих точках.

Для розв’язання задачі Коші в роботі пропонується застосовувати наступні однокрокові методи: метод Ейлера, метод Ейлера-Коші та методРунге-Кутта 4-го порядку.

Метод Ейлера:

, ,

де , - крок розрахунку.

Метод Ейлера-Коші:

- обчислюється значення функції в наступній точці за методом Ейлера:

;

- обчислюється наближене значення похідної в кінці інтервалу з використанням :

;

- визначається середнє арифметичне між значеннями похідної на початку і в кінці інтервалу і знаходиться більш точне значення :

.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядку:

,

де

; ;

; .

6.2 Порядок виконання роботи

1. Розв’язати на ПЕОМ диференціальне рівняння (табл. 6.1) на заданому відрізку зміни аргументу [0; 2] із заданими початковими умовами (y(0) = 1) і кроком розрахунку h = 0,25 методами Ейлера, Ейлера-Коші та Рунге-Кутта 4-го порядку.

2. Перші дві ітерації кожного методу записати докладно (розрахувати «в ручну»).

3. Перевірити рішення диференціального рівняння за допомогою існуючих готових функцій (наприклад, вбудованих в Mathcad функцій rkfixed або rkadapt).

6.3 Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Вихідні дані для виконання роботи.

3. Результати розв’язання диференціального рівняння на ПЕОМ різними методами.

4. Докладний розрахунок перших двох ітерацій кожного метода «в ручну».

5. Результати перевірки за допомогою існуючих функцій.

Контрольні питання

1. Які існують категорії диференціальних рівнянь в залежності від числа змінних?

2. Які типи додаткових умов (завдань) існують?

3. Що є результатом рішення задачі Коші чисельними методами?

4. Які однокрокові методи можна використовувати для розв’язання задачі Коші?

5. Як виконується розв’язання ДР за методом Ейлера?

6. Чим відрізняється розв’язання ДР за методом Ейлера та методом Ейлера-Коші?

7. Як виконується розв’язання ДР за методом Рунге-Кутта 4-го порядку?

Таблиця 6.1 – Вихідні диференціальні рівняння

Варіант Диференціальне рівняння Метод   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта

Варіант Диференціальне рівняння Метод   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта   Ейлера   Ейлера-Коши   Рунге-Кутта