Елементи теорії похибок

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ ЗА КУРСОМ

«Математичні методи та моделі»

Галузь знань: 0507 Електротехніка та електромеханіка

Напрям(и) підготовки: 6.050701 Електротехніка та електротехнології

Укладачі:

Ларіна І.І., к. т. н., доцент,

Мішлаков Д.О., асистент,

Наумов О.Є., ст. викладач

Розглянуто на засіданні

кафедри "Електричні системи"

протокол № 1 від 30.08.2013 р.

Затверджено на засіданні

Навчально-видавничої ради ДонНТУ

протокол № від 2013 р.

Донецьк – 2013

Методичні вказівки до лабораторних робіт за курсом «Математичні методи та моделі» для студентів спеціальності 05070102 «Електричні системи і мережі» – Донецьк: ДонНТУ. – 2013. – 37 с.

Приведені методичні вказівки до виконання лабораторних робіт із курсу «Математичні методи та моделі». Дані методики рішення задач теорії похибок, розв’язання рівнянь та їх систем, апроксимації дослідних залежностей. В частині завдань для рішення та дослідження використовується програмний пакет MathCad.

Укладачі: Ларіна І.І., к. т. н., доцент,

Мішлаков Д.О., асистент,

Наумов О.Є., ст. викладач

Лабораторна робота № 1

Елементи теорії похибок

Мета роботи – набуття навичок розв’язання задач теорії похибок.

1.1 Основні відомості

Оцінка похибки може бути здійснена за допомогою абсолютної та відносної похибки.

Наближеним числом а є число, яке незначно відрізняється від точного числа А і замінює його при проведенні обчислень.

Абсолютна похибка наближеного числа а: = |А - а|.

Якщо точне число А невідоме, використовують поняття граничної абсолютної похибки: ≥ |А - а|.

Значення числа А записують у наступному вигляді: А = а ± .

Відносна похибка наближеного числа а:

δ_а = .

Часто використовують відносну похибку, яка виражена у процентному відношенні δ_а·100%. Існує також поняття граничної відносної похибки: ≥ .

Гранична відносну похибку можна розрахувати за наступною формулою:

= .

При виконанні обчислень точність визначається не кількістю десятинних знаків, а кількістю значущих цифр результату. Значущими цифрами числа а називають всі цифри в його десятинному зображенні, починаючи з першої цифри зліва, відмінної від нуля.

1.2 Порядок виконання роботи

1. Визначити абсолютні похибки Δ_Х^* наближених чисел за їх відносною похибкою (індивідуальні завдання наведено в табл. 1.1).

2. Визначити кількість правильних значущих цифр у вузькому і широкому сенсі для наближених чисел (табл. 1.2).

3. Визначити граничні абсолютну і відносну похибки наближених чисел, якщо вони вміщують тільки правильні цифри (у вузькому і широкому сенсі) (табл. 1.3).

4. Визначити, яка із наближених рівностей точніше (табл. 1.4). Для виконання потрібно:

– записати значення лівих частин рівностей в десятинному зображенні з кількістю знаків після коми не менше п‘яти;

– визначити абсолютні похибки для обох виразів; заокруглити їх з надлишком (отримаєте граничні абсолютні похибки);

– визначити граничні відносні похибки і з їх порівняння дати відповідь на запитання.

5. Обчислити і визначити граничні похибки (абсолютну і відносну) результату (табл. 1.5).

6. Розрахувати абсолютні похибки аргументів функцій при умові, щоб абсолютна похибка функцій не перевищувала 0,01 (табл. 1.5).

1.3 Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Вихідні дані для виконання роботи.

3. Розрахунки та відповіді до кожного завдання.

Таблиця 1.1 – Варіанти до завдання 1

Варіант	Х			Варіант	Х
	6,18 4,72 21,11 7,27 23,32 14,73 7,19 3,11 12,22 17,81 14,56 11,76 43,54 28,19 63,32	0,3% 0,007 0,004 0,2% 0,005 0,1% 0,002 0,6% 0,4% 0,006 0,003 0,004 0,2% 0,4% 0,008		7,14 14,22 63,12 21,73 6,44 14,88 62,41 17,82 21,33 11,27 26,25 13,72 28,18 15,31 27,11	0,003 0,7% 0,5% 0,004 0,006 0,1% 0,3% 0,006 0,4% 0,008 0,005 0,5% 0,3% 0,006 0,2%

Таблиця 1.2 – Варіанти до завдання 2

Варіант	Число		Варіант	Число
	72,375 ± 0,0034 36,825 ± 0,0072 9,623 ± 0,066 0,056 ± 0,003 194,42 ± 0,06 84,172 ± 0,007 0,454 ± 0,001 214,72 ± 0,22 44,211 ± 0,044 0,011 ± 0,002 26,481 ± 0,008 0,087 ± 0,002 35,87 ± 0,004 144,97 ± 0,32 8,453 ± 0,071		0,965 ± 0.003 16.782 ± 0,004 33,674 ± 0,008 253,57 ± 0,38 8,492 ± 0,073 0,095 ± 0,002 4,973 ± 0,0054 18,065 ± 0,074 10,832 ± 0,077 5,941 ± 0,055 0,097 ± 0,006 27,785 ± 0,02 111,66 ± 0,07 31,84 ± 0,003 0,956 ± 0,002

Таблиця 1.3 – Варіанти до завдання 3

Варіант	У вузькому сенсі	У широкому сенсі		Варіант	У вузькому сенсі	У широкому сенсі
	15,644 9,450 0,005 60,34	0,6132 0,0452 11,342 0,975			43,51 0,0572 22,343 0,7531	0,0783 21,360 0,0067 31,720

Продовження таблиці 1.3

Варіант	У вузькому сенсі	У широкому сенсі		Варіант	У вузькому сенсі	У широкому сенсі
	53,486 0,0564 6,490 23,897 16,121 0,965 54,901 10,099 0,0790 7,7777 6,873	0,630 55,073 0,056 1,0051 0,790 11,070 0,007 0,0034 24,888 0,0050 0,0551			8,952 0.579 12,485 0,359 93,072 0,0659 76,040 0,0090 70,905 0,9950 27,070	77,340 10,024 0,0674 12,075 0,0673 87,75 0,972 23,787 0,0083 34.756 0,0773

Таблиця 1.4 – Варіанти до завдання 4

Варіант	Наближені рівності		Варіант	Наближені рівності
	≈ 6,63 19 / 41 ≈ 0,463 7 / 15 ≈ 0,467 ≈ 5,48 ≈ 3,24 4 / 17 ≈ 0,235 15 / 7 ≈ 2,14 ≈ 3,16		6 / 7 ≈ 0,857 ≈ 2,19 12 /11 ≈ 1,091 ≈ 2,61 2 / 21 ≈ 0,095 ≈ 4,69 23 / 15 ≈ 1,53 ≈ 3,13

Продовження таблиці 1.4

Варіант	Наближені рівності		Варіант	Наближені рівності
	6 / 11 ≈ 0,545 ≈ 9,11 17 / 19 ≈ 0,895 ≈ 7,21 21 / 29 ≈ 0,723 ≈ 6,63 50 / 19 ≈ 2,63 ≈ 5,19 13 / 17 ≈ 0,764 ≈ 5,56 7 / 22 ≈ 0,318 ≈ 3,60 17 / 11 ≈ 1,545 ≈ 4,24 5 / 3 ≈ 1,667 ≈ 6,16 49 / 13 ≈ 3,77 ≈ 3,74 13 / 7 ≈ 1,857 ≈ 2,64 19 / 12 ≈ 1,58 ≈ 3,46		51 / 11 ≈ 4,64 ≈ 5,91 18 / 7 ≈ 2,57 ≈ 4,69 19 / 9 ≈ 2,11 ≈ 4,12 16 / 7 ≈2,28 ≈ 3,32 20 / 13 ≈ 1,54 ≈ 7,94 12 / 7 ≈ 1,71 ≈ 6,86 6 / 7 ≈ 0,857 ≈ 6,40 23 / 9 ≈ 2,56 ≈ 9,33 27 / 31 ≈ 0,872 ≈ 6,48 7 / 3 ≈ 2,33 ≈ 7,61 14 / 17 ≈ 0,823 ≈ 7,28

Таблиця 1.5 – Варіанти до завдань 5 і 6

Варіант	Функція	Аргументи
a	b	c
		17,12 ± 0,01	2,69 ± 0,002	27,44 ± 0,03
		24,97 ± 0,02	6,18 ± 0,005	5,12 ± 0,004
		16,72 ± 0,04	9,74 ± 0,002	2,12 ± 0,003
		4,53 ± 0,01	20,67 ± 0,03	13,96 ± 0,02
		5,18 ± 0,002	2,93 ± 0,001	7,54 ± 0,005
		24,72 ± 0,03	7,15 ± 0,005	4,12 ± 0,01
		16,03 ± 0,01	24,13 ± 0,008	0,55 ± 0,002
		29,33 ± 0,005	19,16 ± 0,02	0.85 ± 0,003
		10,11 ± 0,003	2,12 ± 0,004	26,82 ± 0,02
		7,15 ± 0,008	0,38 ± 0,003	10,18 ± 0,01
		8,97 ± 0,01	3,11 ± 0,004	2,17 ± 0,006
		5,23 ± 0,006	7,02 ± 0,004	0,87 ± 0,02
		14,93 ± 0,007	4,88 ± 0,01	13,01 ± 0,003

Продовження таблиці 1.5

Варіант	Функція	Аргументи
a	b	c
		23,87 ± 0,01	11,72 ± 0,005	8,24 ± 0,002
		63,75 ± 0,007	9,18 ± 0,003	3,11 ± 0,003
		2,84 ± 0,006	66,77 ± 0,01	7,56 ± 0,002
		3,16 ± 0,004	12,17 ± 0,01	5,13 ± 0,003
		1,512 ± 0,003	4,03 ± 0,01	8,92 ± 0,004
		4,16 ± 0,005	11,22 ± 0,003	10,12 ± 0,007
		12,63 ± 0,003	9,31 ± 0,01	21,71 ± 0,01
		44,13 ± 0,008	2,85 ± 0,004	38,42 ± 0,003
		5,11 ± 0,002	8,34 ± 0,005	15,87 ± 0,006
		3,88 ± 0,003	10,15 ± 0,01	6,18 ± 0,005
		0,13 ± 0,006	52,14 ± 0,004	30,24 ± 0,01
		47,24 ± 0,01	0,56 ± 0,003	3,18 ± 0,004
		24,91 ± 0,003	3,11 ± 0,002	15,11 ± 0,01

Продовження таблиці 1.5

Варіант	Функція	Аргументи
a	b	c
		8,93 ± 0,01	0,315 ± 0,005	89,22 ± 0,003
		9,57 ± 0,006	63,91 ± 0,01	3,17 ± 0,002
		2,87 ± 0,003	1,372 ± 0,004	57,14 ± 0,01
		19,76 ± 0,01	4,86 ± 0,003	2,12 ± 0,002

Контрольні питання

1. Що називають абсолютною похибкою? Відносною похибкою? Граничними абсолютною і відносною похибками?

2. Дайте визначення значущої і вірної значущої цифри числа.

3. Яку цифру наближеного числа вважають сумнівною?

4. Як можна зробити оцінку похибок?

5. Сформулюйте загальну і обернену задачі теорії похибок.

6. Яке припущення покладено в ідею одержання розв‘язку оберненої задачі теорії похибок?

7. Як оцінити абсолютну і відносну похибки функції за відомими абсолютними похибками аргументів?

8. Як визначити похибки математичних дій з наближеними числами?

Лабораторна робота № 2