Апроксимація таблично заданих функцій

Мета роботи - придбання навичок апроксимація функцій, що задані таблицею.

5.1 Основні відомості

Якщо функція задана таблицею, то задача апроксимації полягає у визначенні достатньо простого виду функції (її аналітичного виразу), значення якої при мало відрізнялись би від табличних даних. Якщо табличну залежність одержано в результаті експериментів, то задача апроксимації цієї залежності називається інакше підбором емпіричної функції. Геометрично задача апроксимації полягає в проведенні графіка функції f(x) якомога ближче до системи точок .

Побудова емпіричної функції складається з двох етапів:

– вибору загального виду цієї функції;

– визначення кращих її параметрів.

В даній роботі в якості набору найпростіших функцій, з котрих будемо обирати емпіричну залежність, розглянемо

1) лінійну ;

2) показникову ;

3) дрібно-раціональну ;

4) логарифмічну ;

5) степеневу ;

6) гіперболічну ;

7) дрібно-раціональну виду .

Перевірка відповідності виду емпіричної функції залежності, що задана таблицею, здійснюється за допомогою так званого методу вирівнювання, який полягає в наступному: припускають, що між х і у існує залежність означеного виду, знаходять деякі величини і , які при зробленому припущенні зв‘язані лінійною залежністю (тобто перетворюють систему координат х0у, в якій залежність нелінійна, в систему координат ,в якій ця залежність стає лінійною).

Коефіцієнти а та b для емпіричних формул виду можна визначити методом обраних точок.

На кривій (або на прямій в методі вирівнювання) обирають дві довільні точки і та складають систему рівнянь:

Розв‘язують її відносно а та b й підставляють останні в функцію . Одержаний аналітичний вираз і являє собою розв‘язок задачі апроксимації функції, що задана таблицею.

5.2 Порядок виконання роботи

Для апроксимації функції, яка задана таблицею (табл. 5.3), необхідно:

1. Зобразити функцію у вигляді графіка .

2. На заданому відрізку зміни х потрібно обрати дві точки, які достатньо надійні і, за можливістю, далеко розташовані одна від одної, наприклад, крайні точки з координатами .

3. Обчислити середні арифметичні: , ;

середні геометричні: , ;

середні гармонічні: , .

4. За обчисленими значеннями х необхідно знайти по графіку значення :

5. Порівняти знайдені з графіку значення з обчисленими значеннями і оцінити наступні похибки результату порівняння:

, , , , , , .

6. Знайти з цих похибок мінімальну:

та за нею обрати вид емпіричної функції у відповідності з табл. 5.1.

7. Перевірити правильність вибору емпіричної функції методом вирівнювання. Зведення нелінійних залежностей до лінійних описується в табл. 5.2. При цьому необхідно для заданих точок (x, y) розрахувати координати точок (q, z). Далі потрібно побудувати залежність z = f(q) по розрахованим точкам та переконатись, що вона близька до прямої лінії. Якщо отримана залежність суттєво відрізняється від прямої необхідно перевіряти вибір емпіричної функції.

8. Визначити коефіцієнти а та b в емпіричній формулі методом обраних точок. Для цього на кривій (або на прямій в методі вирівнювання) обирають дві точки і та складають систему рівнянь:

розв‘язують її відносно коефіцієнтів а та b.

9. Записати остаточний вид емпіричної функції та побудувати отриману емпіричну залежність графічно.

10. Оцінити похибку у кожній точці вихідної функції.

Таблиця 5.1 – Залежність виду функції від

Вид

Таблиця 5.2 – Зведення нелінійних залежностей до лінійних

Нелінійна залежність	Лінійна залежність	Зв‘язок між змінними в координатах q0z і x0y

5.3 Зміст звіту

1. Мета роботи.

2. Вихідні дані для виконання роботи.

3. Розрахунки необхідні для вибору виду емпіричної функції.

4. Перевірка за методом вирівнювання.

5. Розрахунок коефіцієнтів емпіричної функції.

6. Остаточний вид емпіричної функції.

7. Графіки вихідної функції, що задана таблицею, та отриманої емпіричної функції.

8. Оцінка похибки для кожної точки вихідної функції.

Контрольні питання

1. Як формулюється задача наближення функцій? В чому полягають задачі інтерполяції і апроксимації функцій?

2. Як практично вибрати вид емпіричної функції з набору найпростіших функцій ()?

3. Як переконатися в тому, що вид емпіричної формули обрано вірно?

4. Як практично уточнити коефіцієнти а і b емпіричної функції?

5. Як визначити ступень і коефіцієнти алгебричного поліному при застосуванні останнього у якості емпіричної функції?

Таблиця 5.3 – Вихідні таблично задані функції

Варіант	Функція		Варіант	Функція

Продовження табл. 5.3

Варіант	Функція		Варіант	Функція

Продовження табл. 5.3

Варіант	Функція		Варіант	Функція

Продовження табл. 5.3

Варіант	Функція		Варіант	Функція

Лабораторна робота № 6